Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12531
2020-01-08 
На плоскости расположено $N$ одинаковых бильярдных шаров. Один шар толкнули, и, испытав несколько соударений, он остановился в той же точке, из которой начал движение. При каком минимальном $N$ это возможно? Соударения считать абсолютно упругими.
Решение:
Прежде всего, заметим, что после абсолютно упругого соударения двух одинаковых шаров, один из которых до этого покоился, шары разлетаются под прямым углом. Действительно, по закону сохранения импульса (рис.; здесь $\vec{v}_{0}$ - скорость налетающего шара до удара, $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ скорости шаров после удара)
$m \vec{v}_{0} = m \vec{v}_{1} + m \vec{v}_{2}$,
а по закону сохранения энергии
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{mv_{2}^{2} }{2}$,
отсюда следует, что скорости $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ шаров после удара перпендикулярны друг другу: $\vec{v}_{1} \perp \vec{v}_{2}$.
Теперь покажем, что, испытав одно соударение, шар отклоняется от направления своего движения на угол $\beta < \pi /2$. Согласно рисунку, $\beta = \pi /2 - \alpha$, где $0 \leq \alpha \leq \pi /2$. Если $a= 0$, первый шар после удара останавливается (а второй шар начинает двигаться со скоростью $\vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}$). Следовательно, $\beta < \pi /2$.
По условию задачи один из шаров (будем называть его первым), испытав несколько соударений, должен описать замкнутую ломаную. Как известно, сумма внешних углов такой ломаной больше или равна $2 \pi$ (знак равенства соответствует выпуклому многоугольнику). Значит, число шаров, с которыми должен столкнуться первый шар, должно удовлетворять неравенству
$n \geq \frac{2 \pi}{ \pi /2 } \geq 4$.
Кроме того, чтобы исходный шар остановился, вблизи начальной точки должен находиться еще один шар, который испытает с первым лобовое соударение и остановит его.
Итак, минимальное количество шаров
$N_{min} = 4 + 1 + 1 = 6$.
Возможное расположение шаров показано на рисунке.
На плоскости расположено $N$ одинаковых бильярдных шаров. Один шар толкнули, и, испытав несколько соударений, он остановился в той же точке, из которой начал движение. При каком минимальном $N$ это возможно? Соударения считать абсолютно упругими.
Решение:
Прежде всего, заметим, что после абсолютно упругого соударения двух одинаковых шаров, один из которых до этого покоился, шары разлетаются под прямым углом. Действительно, по закону сохранения импульса (рис.; здесь $\vec{v}_{0}$ - скорость налетающего шара до удара, $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ скорости шаров после удара)
$m \vec{v}_{0} = m \vec{v}_{1} + m \vec{v}_{2}$,
а по закону сохранения энергии
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{mv_{2}^{2} }{2}$,
отсюда следует, что скорости $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ шаров после удара перпендикулярны друг другу: $\vec{v}_{1} \perp \vec{v}_{2}$.
Теперь покажем, что, испытав одно соударение, шар отклоняется от направления своего движения на угол $\beta < \pi /2$. Согласно рисунку, $\beta = \pi /2 - \alpha$, где $0 \leq \alpha \leq \pi /2$. Если $a= 0$, первый шар после удара останавливается (а второй шар начинает двигаться со скоростью $\vec{v}_{2} = \vec{v}_{0}$). Следовательно, $\beta < \pi /2$.
По условию задачи один из шаров (будем называть его первым), испытав несколько соударений, должен описать замкнутую ломаную. Как известно, сумма внешних углов такой ломаной больше или равна $2 \pi$ (знак равенства соответствует выпуклому многоугольнику). Значит, число шаров, с которыми должен столкнуться первый шар, должно удовлетворять неравенству
$n \geq \frac{2 \pi}{ \pi /2 } \geq 4$.
Кроме того, чтобы исходный шар остановился, вблизи начальной точки должен находиться еще один шар, который испытает с первым лобовое соударение и остановит его.
Итак, минимальное количество шаров
$N_{min} = 4 + 1 + 1 = 6$.
Возможное расположение шаров показано на рисунке.
