Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12529
2020-01-08 
Образование кометного семейства Юпитера описывается следующей схемой. Комета падает с большого удаления без начальной скорости на Солнце и пролетает невдалеке от Юпитера (см. рисунок). После прекращения заметного влияния поля тяготения Юпитера комета вновь движется в поле Солнца, причем ее скорость оказывается направленной противоположно скорости Юпитера, а афелий новой орбиты кометы располагается вблизи орбиты Юпитера, т. е. на расстоянии $R = 5,2$ а. е. от Солнца. На каком расстоянии от Солнца будет располагаться перигелий орбиты такой кометы?
Решение:
Заметим, что Солнце более чем в $10^{3}$ раз массивнее Юпитера, так что размеры области, где тяготение Юпитера сравнимо с влиянием Солнца, в $10^{6}$ раз меньше радиуса орбиты планеты. Вместе с тем, время существенного взаимодействия кометы с Юпитером несопоставимо мало по сравнению с периодами обращения Юпитера и кометы вокруг Солнца, следовательно, смещение кометы за это время ничтожно. Поэтому мы можем движение кометы разбить на три независимых этапа: 1) движение кометы из удаленного положения по направлению к Солнечной системе под действием тяготения Солнца, 2) "мгновенный" разворот в поле Юпитера, 3) движение по эллиптической орбите вокруг Солнца (причем на этом этапе влияние Юпитера учитывать не надо).
Из условия движения Юпитера но круговой орбите под действием притяжения Солнцем массой $M$
$\frac{v^{2} }{R} =\frac{GM}{R^{2} }$
получим скорость Юпитера $v$:
$v = \sqrt{ \frac{GM}{R} }$.
Скорость кометы $v_{к}$ при подлете к Юпитеру в конце первого этапа определим из закона сохранения энергии (на бесконечно большом удалении энергия, как обычно, принята равной нулю):
$\frac{v_{к}^{2} }{2} - \frac{GM}{R} = 0, v_{к} = \sqrt{ \frac{2GM}{R} } = v \sqrt{2}$.
Направления скоростей кометы и Юпитера вначале перпендикулярны друг другу, значит, относительно Юпитера скорость кометы равна
$v_{к}^{ \prime} = v \sqrt{3}$.
После выхода из поля тяготения Юпитера (в начале третьего этапа) скорость кометы относительно планеты изменяется только по направлению, но по отношению к Солнцу она становится равной
$v_{1} = v ( \sqrt{3} - 1)$.
Теперь комета вновь взаимодействует только с Солнцем. В афелии и в перигелии скорость перпендикулярна радиусу-вектору, проведенному из Солнца, значит, второй закон Кеплера запишется так:
$v_{1}R = v_{2}x$.
Из закона сохранения энергии -
$\frac{v_{1}^{2} }{2} - \frac{GM}{R} = \frac{v_{2}^{2} }{2} - \frac{GM}{x}$.
Решая совместно полученные уравнения, мы найдем два ответа:
$x_{1} = R = 5,2$ а.е.
- это афелий, для которого уравнения обращаются в тождества, и
$x_{2} = \frac{R (2 - \sqrt{3})}{ \sqrt{3} - 1 } = 0,37R = 1,9$ а.е.
- это и есть искомое расстояние в перигелии.
Образование кометного семейства Юпитера описывается следующей схемой. Комета падает с большого удаления без начальной скорости на Солнце и пролетает невдалеке от Юпитера (см. рисунок). После прекращения заметного влияния поля тяготения Юпитера комета вновь движется в поле Солнца, причем ее скорость оказывается направленной противоположно скорости Юпитера, а афелий новой орбиты кометы располагается вблизи орбиты Юпитера, т. е. на расстоянии $R = 5,2$ а. е. от Солнца. На каком расстоянии от Солнца будет располагаться перигелий орбиты такой кометы?
Решение:
Заметим, что Солнце более чем в $10^{3}$ раз массивнее Юпитера, так что размеры области, где тяготение Юпитера сравнимо с влиянием Солнца, в $10^{6}$ раз меньше радиуса орбиты планеты. Вместе с тем, время существенного взаимодействия кометы с Юпитером несопоставимо мало по сравнению с периодами обращения Юпитера и кометы вокруг Солнца, следовательно, смещение кометы за это время ничтожно. Поэтому мы можем движение кометы разбить на три независимых этапа: 1) движение кометы из удаленного положения по направлению к Солнечной системе под действием тяготения Солнца, 2) "мгновенный" разворот в поле Юпитера, 3) движение по эллиптической орбите вокруг Солнца (причем на этом этапе влияние Юпитера учитывать не надо).
Из условия движения Юпитера но круговой орбите под действием притяжения Солнцем массой $M$
$\frac{v^{2} }{R} =\frac{GM}{R^{2} }$
получим скорость Юпитера $v$:
$v = \sqrt{ \frac{GM}{R} }$.
Скорость кометы $v_{к}$ при подлете к Юпитеру в конце первого этапа определим из закона сохранения энергии (на бесконечно большом удалении энергия, как обычно, принята равной нулю):
$\frac{v_{к}^{2} }{2} - \frac{GM}{R} = 0, v_{к} = \sqrt{ \frac{2GM}{R} } = v \sqrt{2}$.
Направления скоростей кометы и Юпитера вначале перпендикулярны друг другу, значит, относительно Юпитера скорость кометы равна
$v_{к}^{ \prime} = v \sqrt{3}$.
После выхода из поля тяготения Юпитера (в начале третьего этапа) скорость кометы относительно планеты изменяется только по направлению, но по отношению к Солнцу она становится равной
$v_{1} = v ( \sqrt{3} - 1)$.
Теперь комета вновь взаимодействует только с Солнцем. В афелии и в перигелии скорость перпендикулярна радиусу-вектору, проведенному из Солнца, значит, второй закон Кеплера запишется так:
$v_{1}R = v_{2}x$.
Из закона сохранения энергии -
$\frac{v_{1}^{2} }{2} - \frac{GM}{R} = \frac{v_{2}^{2} }{2} - \frac{GM}{x}$.
Решая совместно полученные уравнения, мы найдем два ответа:
$x_{1} = R = 5,2$ а.е.
- это афелий, для которого уравнения обращаются в тождества, и
$x_{2} = \frac{R (2 - \sqrt{3})}{ \sqrt{3} - 1 } = 0,37R = 1,9$ а.е.
- это и есть искомое расстояние в перигелии.
