Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12528
2020-01-08 
В настоящее время в связи с открытием явления высокотемпературной сверхпроводимости изучается вопрос о создании линии передачи постоянного тока без потерь энергии на джоулево тепло. Предполагается использовать для передачи постоянного тока коаксиальный кабель, состоящий из внутренней цилиндрической жилы и наружной цилиндрической оболочки, выполненных из сверхпроводника. Электрическое и магнитное поля в такой системе изображены на рисунке. Известно, что индукция магнитного поля у поверхности сверх проводника не может превышать некоторого значения $B_{max}$ иначе разрушается сверхпроводимость, а напряженность электрического поля не должна превышать $E_{max}$, иначе происходит электрический пробой изолирующей прослойки кабеля. Определите, во сколько раз изменится максимальная мощность постоянного тока, передаваемая по такому кабелю, если диаметры внутренней и внешней оболочек увеличить в два раза. Какую максимальную мощность можно передать по кабелю с диаметрами оболочек $D = 8 см, d = 3 см,$ если $E_{max} = 20 кВ/см$ и $B_{max} = 5 \cdot 10^{-2} Тл$?
Примечание: индукция магнитного поля в пространстве между цилиндрическими проводниками совпадает с полем прямого проводника с током $I$:
$B = \frac{ \mu_{0} }{2 \pi} \frac{I}{r}$
($\mu_{0} = 4 \pi \cdot 10^{-7} Н/А^{2}$ - магнитная постоянная).
Решение:
Как видно из условия задачи, индукция $B$ магнитного поля принимает максимальное значение вблизи внутренней жилы кабеля. Оно не должно превышать заданную величину $B_{max}$, иначе произойдет разрушение сверхпроводимости внутренней жилы. Это условие определяет максимальный ток $I_{max}$, который можно пропускать по кабелю:
$B_{max} = \frac{ \mu_{0} }{2 \pi} \frac{I_{max} }{d/2 } = \frac{ \mu_{0}I_{max} }{ \pi d}$,
$I_{max} = \frac{ \pi d B_{max} }{ \mu_{0} }$.
Таким образом, при заданном значении $B_{max}$ максимальный ток пропорционален диаметру внутренней жилы кабеля:
$I_{max} \sim d$.
Напряженность $E$ электрического ноля в пространстве между цилиндрическими проводниками изменяется обратно пропорционально расстоянию $r$ от оси цилиндров:
$E(r) \sim \frac{1}{r}$.
Качественно эту зависимость легко понять с помощью приведенной на рисунке картины силовых линий электрического поля (вспомните, что напряженность Электрического ноля характеризует густоту силовых линий, т. е. число линий, пронизывающих единичную площадку). Количественную зависимость $E(r)$ попробуйте получить самостоятельно.
Итак, напряженность электрического поля, так же как и индукция магнитного поля, наибольшее значение принимает вблизи внутренней жилы кабеля. Именно в этом месте напряженность не должна превышать значение $E_{max}$, иначе произойдет электрический пробой. Если при $r = d/2$ напряженность поля равна $E_{max}$, то в пространстве между цилиндрическими проводниками
$E(r) = E_{max} \frac{d/2}{r}$.
Отсюда можно найти максимальное напряжение $U_{max}$ между электродами:
$U_{max} = \int_{d/2}^{D/2} E_{max} \frac{d/2}{r} dr = \frac{E_{max}d }{2} ln \frac{D}{d}$.
Если сравниваемые в задаче кабели геометрически подобны, т. е. $D/d= const$, то максимальное напряжение пропорционально диаметру внутренней жилы:
$U_{max} \sim d$.
Следовательно, максимальная мощность, передаваемая по кабелю,
$P_{max} = U_{max} I_{max} \sim d^{2}$.
При увеличении диаметров внутренней жилы и наружной оболочки кабеля в 2 раза максимальная передаваемая мощность возрастает в 4 раза. Для кабеля, параметры которого заданы в условии задачи, максимальная мощность равна
$P_{max} = U_{max}I_{max} = \frac{ \pi d^{2} E_{max}B_{max} }{2 \mu_{0} } ln \frac{D}{d} \approx 10^{8} Вт$
В настоящее время в связи с открытием явления высокотемпературной сверхпроводимости изучается вопрос о создании линии передачи постоянного тока без потерь энергии на джоулево тепло. Предполагается использовать для передачи постоянного тока коаксиальный кабель, состоящий из внутренней цилиндрической жилы и наружной цилиндрической оболочки, выполненных из сверхпроводника. Электрическое и магнитное поля в такой системе изображены на рисунке. Известно, что индукция магнитного поля у поверхности сверх проводника не может превышать некоторого значения $B_{max}$ иначе разрушается сверхпроводимость, а напряженность электрического поля не должна превышать $E_{max}$, иначе происходит электрический пробой изолирующей прослойки кабеля. Определите, во сколько раз изменится максимальная мощность постоянного тока, передаваемая по такому кабелю, если диаметры внутренней и внешней оболочек увеличить в два раза. Какую максимальную мощность можно передать по кабелю с диаметрами оболочек $D = 8 см, d = 3 см,$ если $E_{max} = 20 кВ/см$ и $B_{max} = 5 \cdot 10^{-2} Тл$?
Примечание: индукция магнитного поля в пространстве между цилиндрическими проводниками совпадает с полем прямого проводника с током $I$:
$B = \frac{ \mu_{0} }{2 \pi} \frac{I}{r}$
($\mu_{0} = 4 \pi \cdot 10^{-7} Н/А^{2}$ - магнитная постоянная).
Решение:
Как видно из условия задачи, индукция $B$ магнитного поля принимает максимальное значение вблизи внутренней жилы кабеля. Оно не должно превышать заданную величину $B_{max}$, иначе произойдет разрушение сверхпроводимости внутренней жилы. Это условие определяет максимальный ток $I_{max}$, который можно пропускать по кабелю:
$B_{max} = \frac{ \mu_{0} }{2 \pi} \frac{I_{max} }{d/2 } = \frac{ \mu_{0}I_{max} }{ \pi d}$,
$I_{max} = \frac{ \pi d B_{max} }{ \mu_{0} }$.
Таким образом, при заданном значении $B_{max}$ максимальный ток пропорционален диаметру внутренней жилы кабеля:
$I_{max} \sim d$.
Напряженность $E$ электрического ноля в пространстве между цилиндрическими проводниками изменяется обратно пропорционально расстоянию $r$ от оси цилиндров:
$E(r) \sim \frac{1}{r}$.
Качественно эту зависимость легко понять с помощью приведенной на рисунке картины силовых линий электрического поля (вспомните, что напряженность Электрического ноля характеризует густоту силовых линий, т. е. число линий, пронизывающих единичную площадку). Количественную зависимость $E(r)$ попробуйте получить самостоятельно.
Итак, напряженность электрического поля, так же как и индукция магнитного поля, наибольшее значение принимает вблизи внутренней жилы кабеля. Именно в этом месте напряженность не должна превышать значение $E_{max}$, иначе произойдет электрический пробой. Если при $r = d/2$ напряженность поля равна $E_{max}$, то в пространстве между цилиндрическими проводниками
$E(r) = E_{max} \frac{d/2}{r}$.
Отсюда можно найти максимальное напряжение $U_{max}$ между электродами:
$U_{max} = \int_{d/2}^{D/2} E_{max} \frac{d/2}{r} dr = \frac{E_{max}d }{2} ln \frac{D}{d}$.
Если сравниваемые в задаче кабели геометрически подобны, т. е. $D/d= const$, то максимальное напряжение пропорционально диаметру внутренней жилы:
$U_{max} \sim d$.
Следовательно, максимальная мощность, передаваемая по кабелю,
$P_{max} = U_{max} I_{max} \sim d^{2}$.
При увеличении диаметров внутренней жилы и наружной оболочки кабеля в 2 раза максимальная передаваемая мощность возрастает в 4 раза. Для кабеля, параметры которого заданы в условии задачи, максимальная мощность равна
$P_{max} = U_{max}I_{max} = \frac{ \pi d^{2} E_{max}B_{max} }{2 \mu_{0} } ln \frac{D}{d} \approx 10^{8} Вт$
