Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12527
2020-01-08 
U-образная трубка частично заполнена водой (см. рисунок). Верхние концы трубки закрывают и нагревают правое колено трубки до температуры $t_{2} = 100^{ \circ} С$ а левое - до $t_{1} = +99,5^{ \circ} С$. Определить установившуюся разность уровней воды в коленах трубки. Справка: па высоте 23 этажа (70 м над землей) температура кипения воды на 0,25 градуса ниже, чем на уровне земли. Тепловым расширением стекла при расчетах пренебречь.
Решение:
Каждое из колен трубки содержит над водой воздух (который был там до нагревания) и насыщенный водяной пар. Будем считать, что при нагревании испарилось совсем немного воды (это потом легко можно проверить), т. е. когда уровень воды в одном из колен поднялся на $\Delta h$, в другом он должен опуститься тоже на $\Delta h$, и запишем условие равновесия воды в трубке после нагревания:
$p_{1} + p_{н1} + \rho_{воды} g(2 \Delta h) = p_{2} + p_{н2}$,
где $p_{1}$ и $p_{2}$ - давления воздуха, $p_{н1}$ и $p_{н2}$ - давления насыщенного водяного пара.
Давления воздуха легко выразить через атмосферное давление $p_{0}$, изменения объемов и температур:
$p_{1} = p_{0} \frac{T_{1} }{T_{0} } \frac{h_{0} }{h_{0} - \Delta h }, p_{2} = p_{0} \frac{T_{2} }{T_{0} } \frac{h_{0} }{h_{0} + \Delta h }$.
Отсюда найдем разность давлений воздуха:
$\Delta p_{возд} = p_{1} - p_{2} = p_{0} \left ( \frac{T_{1} }{T_{0} } \frac{1}{1 - \frac{ \Delta h}{h_{0} } } - \frac{T_{2} }{T_{0} } \frac{1}{1 + \frac{ \Delta h}{h_{0} } } \right ) = \frac{p_{0} }{T_{0} } \frac{T_{1} - T_{2} + ( T_{1} + T_{2} ) \frac{ \Delta h}{h_{0} } }{1 - \left ( \frac{ \Delta }{h_{0} } \right )^{2} } \approx \frac{p_{0} }{T_{0} } \left ( T_{1} - T_{2} + (T_{1} + T_{2} ) \frac{ \Delta h}{h_{0} } \right )$
(здесь мы учли, что $\frac{ \Delta h}{h_{0}} \ll 1$).
Согласно условию задачи, разность давлений насыщенного пара в коленах трубки равна давлению столба воздуха высотой $H = 140 м$:
$ \Delta p_{н} = p_{н2} - p_{н2} = \rho_{возд} gH = \frac{p_{0} M_{возд} }{RT_{0} } gH$.
Теперь из условия равновесия найдем отношение
$\frac{ \Delta h}{h_{0} } = \frac{T_{2} - T_{1} + \frac{M_{возд}gH }{R} }{T_{1} +T_{2} + \frac{2 \rho_{ воды} gh_{0}T_{0} }{p_{0} }} \approx 7 \cdot 10^{-3}$
и установившуюся разность уровней воды
$2 \Delta h \approx 8,4 \cdot 10^{-3} м = 0,84 см$.
(здесь мы приняли $T_{0} = 273 К, p_{0} = 10^{5} Па, h_{0} = 60 см$).
U-образная трубка частично заполнена водой (см. рисунок). Верхние концы трубки закрывают и нагревают правое колено трубки до температуры $t_{2} = 100^{ \circ} С$ а левое - до $t_{1} = +99,5^{ \circ} С$. Определить установившуюся разность уровней воды в коленах трубки. Справка: па высоте 23 этажа (70 м над землей) температура кипения воды на 0,25 градуса ниже, чем на уровне земли. Тепловым расширением стекла при расчетах пренебречь.
Решение:
Каждое из колен трубки содержит над водой воздух (который был там до нагревания) и насыщенный водяной пар. Будем считать, что при нагревании испарилось совсем немного воды (это потом легко можно проверить), т. е. когда уровень воды в одном из колен поднялся на $\Delta h$, в другом он должен опуститься тоже на $\Delta h$, и запишем условие равновесия воды в трубке после нагревания:
$p_{1} + p_{н1} + \rho_{воды} g(2 \Delta h) = p_{2} + p_{н2}$,
где $p_{1}$ и $p_{2}$ - давления воздуха, $p_{н1}$ и $p_{н2}$ - давления насыщенного водяного пара.
Давления воздуха легко выразить через атмосферное давление $p_{0}$, изменения объемов и температур:
$p_{1} = p_{0} \frac{T_{1} }{T_{0} } \frac{h_{0} }{h_{0} - \Delta h }, p_{2} = p_{0} \frac{T_{2} }{T_{0} } \frac{h_{0} }{h_{0} + \Delta h }$.
Отсюда найдем разность давлений воздуха:
$\Delta p_{возд} = p_{1} - p_{2} = p_{0} \left ( \frac{T_{1} }{T_{0} } \frac{1}{1 - \frac{ \Delta h}{h_{0} } } - \frac{T_{2} }{T_{0} } \frac{1}{1 + \frac{ \Delta h}{h_{0} } } \right ) = \frac{p_{0} }{T_{0} } \frac{T_{1} - T_{2} + ( T_{1} + T_{2} ) \frac{ \Delta h}{h_{0} } }{1 - \left ( \frac{ \Delta }{h_{0} } \right )^{2} } \approx \frac{p_{0} }{T_{0} } \left ( T_{1} - T_{2} + (T_{1} + T_{2} ) \frac{ \Delta h}{h_{0} } \right )$
(здесь мы учли, что $\frac{ \Delta h}{h_{0}} \ll 1$).
Согласно условию задачи, разность давлений насыщенного пара в коленах трубки равна давлению столба воздуха высотой $H = 140 м$:
$ \Delta p_{н} = p_{н2} - p_{н2} = \rho_{возд} gH = \frac{p_{0} M_{возд} }{RT_{0} } gH$.
Теперь из условия равновесия найдем отношение
$\frac{ \Delta h}{h_{0} } = \frac{T_{2} - T_{1} + \frac{M_{возд}gH }{R} }{T_{1} +T_{2} + \frac{2 \rho_{ воды} gh_{0}T_{0} }{p_{0} }} \approx 7 \cdot 10^{-3}$
и установившуюся разность уровней воды
$2 \Delta h \approx 8,4 \cdot 10^{-3} м = 0,84 см$.
(здесь мы приняли $T_{0} = 273 К, p_{0} = 10^{5} Па, h_{0} = 60 см$).
