Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12523
2020-01-08 
Исследуя вновь открытую планету, имеющую форму шара радиусом $R = 6400 км$ и покрытую по всей поверхности океаном глубиной $H = 10 км$ из обычной воды, ученые установили, что ускорение свободного падения остается с большой степенью точности неизменным при погружении в океан на различные глубины. Определите по этим данным ускорение свободного падения на планете гравитационная постоянная $G = 6,67 \cdot 10^{-11} Н \cdot м^{2}/кг^{2}$.
Решение:
Внутри однородной сферы гравитационная сила равна нулю, внешние же тела сфера притягивает так, будто вся ее масса сосредоточена в центре. Рассчитаем ускорение свободного падения на глубине $x$ в океане, покрывающем планету.
Рассмотрим сферический слой толщиной $x$, состоящий из воды. Его можно считать составленным из тонких однородных сферических оболочек, каждая из которых внутри себя гравитационной силы не создает. Поэтому гравитационное притяжение сводится к притяжению на поверхности шара радиусом $R-x$. Масса этого шара
$m = M - \frac{4 \pi \rho }{3} (R^{3} - (R - x)^{3} )$,
где $M$ - масса всей планеты, $\rho = 10^{3} кг/м^{3}$ - плотность воды, Тогда ускорение свободного падения
$g = \frac{Gm}{(R - x)^{2} } = G \frac{M - 4 \pi \rho \frac{R^{3} - (R-x)^{3} }{3} }{(R - x)^{2} }$.
Отметим, что это выражение справедливо лишь для малых, по сравнению с $R, x$ - ведь не вся планета состоит из воды. Поэтому на графиках, изображающих зависимость $g$ от $x$ (см. рисунок), только начальные участки в окрашенной полосе описываются полученной формулой. Проанализируем полученное выражение. При достаточно большой массе планеты $M$ ускорение $g$ при погружении возрастает. При достаточно малых массах ускорение сразу же начинает падать. Существует граничная масса, выше которой ускорение растет, а ниже - падает. Значение этой граничной массы и соответствует случаю, когда вблизи поверхности океана $g$ меняется меньше всего, т.е. остается почти постоянным.
Теперь проведем расчеты. Ускорение $g_{0} = \frac{GM}{R^{2}}$ на поверхности океана в случае граничной массы "почти" равно ускорению $g$ на малых глубинах $x$, а их отношение "почти" равно единице:
$\frac{g}{g_{0} } = \frac{1 - 4 \pi \rho R^{3} \frac{ 1 - \left ( 1- \frac{x}{R} \right )^{3} }{3M} }{ \left ( 1 - \frac{x}{R} \right )^{2} } \approx 1$.
Смысл этого "почти" в том, что нужно учесть первую степень малой величины $x/R$ и пренебречь второй и третьей степенями. Тогда предыдущее выражение сведется к равенству
$\frac{1 - \frac{4 \pi \rho R^{2}x }{M} }{1 - \frac{2x}{R} } = 1$,
или
$1 - \frac{4 \pi \rho R^{2} }{M} x = 1 - \frac{2x}{R}$.
Отсюда, приравнивая коэффициенты при $x$, имеем
$M = 2 \pi R^{3} \rho = 1,6 \cdot 10^{24} кг$,
$g_{0} = \frac{GM}{R^{2} } = 2,6 м/с$.
В заключение подумайте сами, будет расти или уменьшаться ускорение свободного падения при погружении в океан на Земле.
Исследуя вновь открытую планету, имеющую форму шара радиусом $R = 6400 км$ и покрытую по всей поверхности океаном глубиной $H = 10 км$ из обычной воды, ученые установили, что ускорение свободного падения остается с большой степенью точности неизменным при погружении в океан на различные глубины. Определите по этим данным ускорение свободного падения на планете гравитационная постоянная $G = 6,67 \cdot 10^{-11} Н \cdot м^{2}/кг^{2}$.
Решение:
Внутри однородной сферы гравитационная сила равна нулю, внешние же тела сфера притягивает так, будто вся ее масса сосредоточена в центре. Рассчитаем ускорение свободного падения на глубине $x$ в океане, покрывающем планету.
Рассмотрим сферический слой толщиной $x$, состоящий из воды. Его можно считать составленным из тонких однородных сферических оболочек, каждая из которых внутри себя гравитационной силы не создает. Поэтому гравитационное притяжение сводится к притяжению на поверхности шара радиусом $R-x$. Масса этого шара
$m = M - \frac{4 \pi \rho }{3} (R^{3} - (R - x)^{3} )$,
где $M$ - масса всей планеты, $\rho = 10^{3} кг/м^{3}$ - плотность воды, Тогда ускорение свободного падения
$g = \frac{Gm}{(R - x)^{2} } = G \frac{M - 4 \pi \rho \frac{R^{3} - (R-x)^{3} }{3} }{(R - x)^{2} }$.
Отметим, что это выражение справедливо лишь для малых, по сравнению с $R, x$ - ведь не вся планета состоит из воды. Поэтому на графиках, изображающих зависимость $g$ от $x$ (см. рисунок), только начальные участки в окрашенной полосе описываются полученной формулой. Проанализируем полученное выражение. При достаточно большой массе планеты $M$ ускорение $g$ при погружении возрастает. При достаточно малых массах ускорение сразу же начинает падать. Существует граничная масса, выше которой ускорение растет, а ниже - падает. Значение этой граничной массы и соответствует случаю, когда вблизи поверхности океана $g$ меняется меньше всего, т.е. остается почти постоянным.
Теперь проведем расчеты. Ускорение $g_{0} = \frac{GM}{R^{2}}$ на поверхности океана в случае граничной массы "почти" равно ускорению $g$ на малых глубинах $x$, а их отношение "почти" равно единице:
$\frac{g}{g_{0} } = \frac{1 - 4 \pi \rho R^{3} \frac{ 1 - \left ( 1- \frac{x}{R} \right )^{3} }{3M} }{ \left ( 1 - \frac{x}{R} \right )^{2} } \approx 1$.
Смысл этого "почти" в том, что нужно учесть первую степень малой величины $x/R$ и пренебречь второй и третьей степенями. Тогда предыдущее выражение сведется к равенству
$\frac{1 - \frac{4 \pi \rho R^{2}x }{M} }{1 - \frac{2x}{R} } = 1$,
или
$1 - \frac{4 \pi \rho R^{2} }{M} x = 1 - \frac{2x}{R}$.
Отсюда, приравнивая коэффициенты при $x$, имеем
$M = 2 \pi R^{3} \rho = 1,6 \cdot 10^{24} кг$,
$g_{0} = \frac{GM}{R^{2} } = 2,6 м/с$.
В заключение подумайте сами, будет расти или уменьшаться ускорение свободного падения при погружении в океан на Земле.
