Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12520
2020-01-08 
Колебательный контур состоит из вакуумного конденсатора емкостью $C$, расстояние, между пластинами которого $d$, и катушки индуктивности. Собственная частота колебаний контура равна $\omega_{0}$. Какой будет собственная частота, если между пластинами конденсатора поместить свободную точечную частицу массой $m$, имеющую заряд $q$? Сила тяжести отсутствует. Краевыми эффектами и силой "электростатического изображения" пренебречь.
Решение:
Запишем энергию системы в произвольный момент времени:
$W = \frac{LI^{2} }{2} + \frac{CU^{2} }{2} + \frac{mv^{2} }{2} - \frac{qUx}{d}$,
где $L$ - индуктивность катушки, $I$ - ток в катушке, $U$ - напряжение на конденсаторе, $v$ - скорость частицы, $x$ - ее координата Уравнение движения частицы в электрическом поле конденсатора имеет вид.
$ma = \frac{qU}{d}$.
Если $U$ изменяется по гармоническому закону $U = U_{0} \cos \omega t$, то
$v = \frac{qU_{0}}{ md \omega} \sin \omega t$,
$x = - \frac{qU_{0}}{md \omega^{2}} \cos \omega t$,
$I = - CU_{0} \sin \omega t$.
По закону сохранения энергии
$W = U_{0}^{2} \left ( \frac{L}{2} (C \omega)^{2} + \frac{m}{2} \left ( \frac{q}{m \omega d} \right)^{2} \right ) \sin^{2} \omega t + U_{0}^{2} \left ( \frac{C}{2} + \frac{q^{2} }{m ( \omega d)^{2} } \right ) \cos^{2} \omega t = const$.
Это возможно, только если коэффициенты при $\cos^{2} \omega t$ и $\sin^{2} \omega t$ равны. Отсюда получаем
$\omega^{2} = \frac{ \omega^{2}}{2} + \sqrt{ \left ( \frac{ \omega_{0}^{2} }{2} \right )^{2} + \frac{ (q \omega / d)^{2} }{mC} }$. (*)
Оценим, при каких условиях можно пренебречь силой "электростатического изображения") (как это было сделано выше). Эта сила, равная по порядку величины $\frac{q^{2}x}{ \epsilon_{0} d^{3}}$, должна быть намного меньше "обычной" электростатической силы $\frac{qU}{d}$, откуда
$\frac{q^{2} }{ \epsilon_{0}d^{3} m \omega^{2} } \ll 1$.
Поскольку площадь пластин конденсатора $S \gg d^{2}$, а $C = \frac{ \epsilon_{0}S }{d}$, формула (*) справедлива, если введение частицы в конденсатор не сильно изменяет частоту колебаний в контуре.
Колебательный контур состоит из вакуумного конденсатора емкостью $C$, расстояние, между пластинами которого $d$, и катушки индуктивности. Собственная частота колебаний контура равна $\omega_{0}$. Какой будет собственная частота, если между пластинами конденсатора поместить свободную точечную частицу массой $m$, имеющую заряд $q$? Сила тяжести отсутствует. Краевыми эффектами и силой "электростатического изображения" пренебречь.
Решение:
Запишем энергию системы в произвольный момент времени:
$W = \frac{LI^{2} }{2} + \frac{CU^{2} }{2} + \frac{mv^{2} }{2} - \frac{qUx}{d}$,
где $L$ - индуктивность катушки, $I$ - ток в катушке, $U$ - напряжение на конденсаторе, $v$ - скорость частицы, $x$ - ее координата Уравнение движения частицы в электрическом поле конденсатора имеет вид.
$ma = \frac{qU}{d}$.
Если $U$ изменяется по гармоническому закону $U = U_{0} \cos \omega t$, то
$v = \frac{qU_{0}}{ md \omega} \sin \omega t$,
$x = - \frac{qU_{0}}{md \omega^{2}} \cos \omega t$,
$I = - CU_{0} \sin \omega t$.
По закону сохранения энергии
$W = U_{0}^{2} \left ( \frac{L}{2} (C \omega)^{2} + \frac{m}{2} \left ( \frac{q}{m \omega d} \right)^{2} \right ) \sin^{2} \omega t + U_{0}^{2} \left ( \frac{C}{2} + \frac{q^{2} }{m ( \omega d)^{2} } \right ) \cos^{2} \omega t = const$.
Это возможно, только если коэффициенты при $\cos^{2} \omega t$ и $\sin^{2} \omega t$ равны. Отсюда получаем
$\omega^{2} = \frac{ \omega^{2}}{2} + \sqrt{ \left ( \frac{ \omega_{0}^{2} }{2} \right )^{2} + \frac{ (q \omega / d)^{2} }{mC} }$. (*)
Оценим, при каких условиях можно пренебречь силой "электростатического изображения") (как это было сделано выше). Эта сила, равная по порядку величины $\frac{q^{2}x}{ \epsilon_{0} d^{3}}$, должна быть намного меньше "обычной" электростатической силы $\frac{qU}{d}$, откуда
$\frac{q^{2} }{ \epsilon_{0}d^{3} m \omega^{2} } \ll 1$.
Поскольку площадь пластин конденсатора $S \gg d^{2}$, а $C = \frac{ \epsilon_{0}S }{d}$, формула (*) справедлива, если введение частицы в конденсатор не сильно изменяет частоту колебаний в контуре.
