Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12516
2020-01-08 
Металлический шар радиусом $\rho$, удаленный от других предметов, заземлен через резистор сопротивлением $R$. На шар налетает пучок электронов, скорость которых вдали от шара была $v$. В секунду на шар попадает $n$ электронов. Какое количество теплоты выделяется на шаре за секунду? Каков заряд шара?
Решение:
Рассмотрим два решения этой задачи.
Первое решение - обычное.
Полная энергия, приносимая электронами за единицу времени, есть
$W = n \frac{mv^{2} }{2}$.
Через резистор течет ток $I = ne$ (число уходящих в землю электронов равно числу попадающих иа шар за то же время), так что в резисторе переходит в тепло энергия (в единицу времени)
$P = I^{2}R = (ne)^{2}R$.
В силу закона сохранения энергии, количество теплоты, выделяемое на шаре в единицу времени, равно
$Q = W - P = n \frac{mv^{2} }{2} - (ne)^{2}R = \frac{nmv^{2} }{2} \left (1 - n \frac{2e^{2}R }{mv^{2} } \right )$.
Потенциал шара (точнее, разность потенциалов между шаром и землей)
$\phi = IR = neR$.
С другой стороны,
$\phi = k \frac{q}{ \rho}$.
Таким образом, заряд шара
$q = \frac{ \phi \rho }{k} = \frac{neR \rho}{k} = 4 \pi \epsilon_{0} neR \rho$.
Заметим, что электроны попадают на шар, если их кинетическая энергия больше работы, затраченной на преодоление отталкивания от шара:
$\frac{mv^{2}}{2} < e \phi$.
Подставляя $\phi = neR$, перепишем это условие в виде:
$n < \frac{mv^{2} }{2 e^{2}R }$.
При этом выражение в скобках для определения $Q$ положительно: $Q > 0$. Таким образом, видно, что подбор чисел в условии не может быть произвольным.
Если первоначально число попадающих электронов было больше $n$, то потенциал шара постепенно увеличивался, так что, начиная с какого-то момента часть электронов, перестала попадать на шар (из-за электрического отталкивания). Если первоначально потенциал шара был больше или равен $\phi$, то электроны не попадали на шар, а заряд стекал с него до тех пор, пока не установился режим, описанный в задаче.
Второе решение позволит глубже почувствовать, что такое электродвижущая сила источника.
Представим нашу систему как электрическую цепь, состоящую из источника с ЭДС $\mathcal{E}$ и нулевым внутренним сопротивлением и двух последовательно соединенных "резисторов". Сопротивление одного из них - это эффективное сопротивление шара $R_{ш}$, другого - известное сопротивление $R$. Источником тока мы назовем устройство, разгоняющее электроны (например, известная электронная пушка). Здесь электрон набирает энергию $\frac{mv^{2} }{2} = e \mathcal{E}$. Отсюда ЭДС источника равна
$\mathcal{E} = \frac{mv^{2} }{2e}$.
Цепь замыкается через заземление (можно считать, что в ускоряющее устройство попадают именно те электроны, которые ушли в заземление).
Теперь наша задача - определить эффективное сопротивление шара $R_{ш}$, так как искомое количество теплоты, выделяющееся на шаре, можно найти из формулы
$Q = I^{2}R_{ш} = (ne)^{2}R_{ш}$.
Запишем закон Ома для нашей цепи:
$\mathcal{E} = I(R + R_{ш})$,
откуда, зная $\mathcal{E}, I$ и $R$, найдем $R_{ш}$:
$R_{ш} = \frac{ \mathcal{E} }{I} - R = \frac{mv^{2} }{2ne^{2} } - R$.
Подставляя $R_{ш}$ в выражение для $Q$, после простых преобразований получаем уже знакомое выражение
$Q = n \frac{mv^{2} }{2} \left ( 1 - n \frac{2e^{2}R }{mv^{2} } \right )$.
Заряд шара находим так же, как и в первом решении.
Металлический шар радиусом $\rho$, удаленный от других предметов, заземлен через резистор сопротивлением $R$. На шар налетает пучок электронов, скорость которых вдали от шара была $v$. В секунду на шар попадает $n$ электронов. Какое количество теплоты выделяется на шаре за секунду? Каков заряд шара?
Решение:
Рассмотрим два решения этой задачи.
Первое решение - обычное.
Полная энергия, приносимая электронами за единицу времени, есть
$W = n \frac{mv^{2} }{2}$.
Через резистор течет ток $I = ne$ (число уходящих в землю электронов равно числу попадающих иа шар за то же время), так что в резисторе переходит в тепло энергия (в единицу времени)
$P = I^{2}R = (ne)^{2}R$.
В силу закона сохранения энергии, количество теплоты, выделяемое на шаре в единицу времени, равно
$Q = W - P = n \frac{mv^{2} }{2} - (ne)^{2}R = \frac{nmv^{2} }{2} \left (1 - n \frac{2e^{2}R }{mv^{2} } \right )$.
Потенциал шара (точнее, разность потенциалов между шаром и землей)
$\phi = IR = neR$.
С другой стороны,
$\phi = k \frac{q}{ \rho}$.
Таким образом, заряд шара
$q = \frac{ \phi \rho }{k} = \frac{neR \rho}{k} = 4 \pi \epsilon_{0} neR \rho$.
Заметим, что электроны попадают на шар, если их кинетическая энергия больше работы, затраченной на преодоление отталкивания от шара:
$\frac{mv^{2}}{2} < e \phi$.
Подставляя $\phi = neR$, перепишем это условие в виде:
$n < \frac{mv^{2} }{2 e^{2}R }$.
При этом выражение в скобках для определения $Q$ положительно: $Q > 0$. Таким образом, видно, что подбор чисел в условии не может быть произвольным.
Если первоначально число попадающих электронов было больше $n$, то потенциал шара постепенно увеличивался, так что, начиная с какого-то момента часть электронов, перестала попадать на шар (из-за электрического отталкивания). Если первоначально потенциал шара был больше или равен $\phi$, то электроны не попадали на шар, а заряд стекал с него до тех пор, пока не установился режим, описанный в задаче.
Второе решение позволит глубже почувствовать, что такое электродвижущая сила источника.
Представим нашу систему как электрическую цепь, состоящую из источника с ЭДС $\mathcal{E}$ и нулевым внутренним сопротивлением и двух последовательно соединенных "резисторов". Сопротивление одного из них - это эффективное сопротивление шара $R_{ш}$, другого - известное сопротивление $R$. Источником тока мы назовем устройство, разгоняющее электроны (например, известная электронная пушка). Здесь электрон набирает энергию $\frac{mv^{2} }{2} = e \mathcal{E}$. Отсюда ЭДС источника равна
$\mathcal{E} = \frac{mv^{2} }{2e}$.
Цепь замыкается через заземление (можно считать, что в ускоряющее устройство попадают именно те электроны, которые ушли в заземление).
Теперь наша задача - определить эффективное сопротивление шара $R_{ш}$, так как искомое количество теплоты, выделяющееся на шаре, можно найти из формулы
$Q = I^{2}R_{ш} = (ne)^{2}R_{ш}$.
Запишем закон Ома для нашей цепи:
$\mathcal{E} = I(R + R_{ш})$,
откуда, зная $\mathcal{E}, I$ и $R$, найдем $R_{ш}$:
$R_{ш} = \frac{ \mathcal{E} }{I} - R = \frac{mv^{2} }{2ne^{2} } - R$.
Подставляя $R_{ш}$ в выражение для $Q$, после простых преобразований получаем уже знакомое выражение
$Q = n \frac{mv^{2} }{2} \left ( 1 - n \frac{2e^{2}R }{mv^{2} } \right )$.
Заряд шара находим так же, как и в первом решении.
