Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12515
2020-01-08 
В узкую кювету с параллельными вертикальными стенками налили некоторое количество жидкости (рис.). Затем кювету начали вращать вокруг вертикальной оси симметрии О-О. При некоторой скорости вращения обнажается $k$-я часть площади дна. Как при этом изменилась сила давления на дно и на узкие боковые стенки (по сравнению со случаем неподвижной кюветы)? При вращении жидкость не выплескивается. Поверхностным натяжением пренебречь.
Решение:
Прежде всего введем обозначения: пусть $2l$ - длина кюветы, $a$ - ее ширина, $h_{0}$ - начальная высота налитой в кювету жидкости.
Горизонтальная поверхность жидкости во время вращения искривляется. Так как по условию $a \ll 2l$, можно считать, что поверхность жидкости приобретает цилиндрическую форму. Определим, какой вид имеет граница поверхности на боковой стенке.
Мысленно выделим в поверхностном слое вращающейся жидкости маленький объем на расстоянии $x$ от оси вращения (рис.). На него действуют сила тяжести $m \vec{g}$ и сила $\vec{N}$ реакции всей остальной жидкости на этот объем, которая направлена по нормали к поверхности жидкости в данной точке. Эти две силы создают центростремительное ускорение $a_{ц} = \omega^{2}x$, направленное к оси О-О. Из рисунка
$tg \alpha = \frac{ma_{ц} }{mg} = \frac{ \omega^{2} }{g} x$,
где $\alpha$ - угол наклона силы $\vec{N}$ к вертикали, равный углу наклона к оси X касательной к поверхности жидкости в данной точке.
Тангенс угла $\alpha$ есть $f^{ \prime}(x)$, и можно найти первообразную функцию $y = f(x)$, которая и является уравнением искомой линии:
$y^{ \prime} = f^{ \prime}(x) = \frac{ \omega^{2} }{g}x$,
$y = \frac{ \omega^{2} }{2g} x^{2} + C$.
Здесь $C$ - константа первообразной. Ее смысл - высота столба жидкости по оси Y при $x = 0$. Свободной от жидкости $k$-я часть площади дна ($0 \leq k < 1$) будет, если при $x = kl$ $y = 0$. Отсюда определим $C$:
$0 = \frac{ \omega_{1}^{2} }{2g} (kl)^{2} + C \Rightarrow C = - \frac{ \omega_{1}^{2} }{2g} k^{2}l^{2}$.
Окончательно уравнение (1) перепишется в виде:
$y = \frac{ \omega_{1}^{2} }{2g} (x^{2} - k^{2}l^{2} )$. (2)
Это - уравнение параболы; здесь под $\omega_{1}$ обозначена та угловая скорость, при которой обнажается $k$-я часть площади дна.
Для определения $\omega_{1}$ воспользуемся свойством несжимаемости жидкости. Первоначальный объем жидкости $V = 2lh_{0} a$ во время вращения распределится поровну по обе стороны от оси вращения: $V/2 = Sa$, где $S$ - площадь под поверхностью жидкости, т. е. часть плоскости, под графиком функции $y = f(x)$ на отрезке $kl \leq x \leq l$. Эта площадь криволинейной трапеции соответствует определенному интегралу, взятому в пределах от $kl$ до $l$:
$S = \int_{kl}^{l} ydx = \frac{ \omega_{1}%{2} }{2g} \left ( \int_{kl}^{l} x^{2}dx - k^{2}l^{2} \int_{kl}^{l} dx \right ) = \frac{ \omega_{1}^{2}t^{3} }{6g} (1 - 3k^{2} + 2k^{3} )$.
Теперь из равенства
$lh_{0} a = a \frac{ \omega_{1}^{2}t^{3} }{6g} (1 - 3k^{2} + 2k^{3})$
получаем
$\omega_{1} = \frac{1}{l} \sqrt{ \frac{6gh_{0} }{1 - 3k^{2} + 3k^{3} } }$. (3)
Сила давления на дно во время вращения не меняется. Она по-прежнему равна силе тяжести налитой в кювету жидкости. Сила давления на боковую стенку возрастает. Покажем это.
Мысленно выделим тонкий пристеночный столб жидкости высотой $h$. Из условия его равновесия по вертикали следует, что давление жидкости на этот столб у его нижнего основания равно $p_{h} = \rho gh$ (см. рис.). Но давление в данной точке жидкости изотропно (закон Паскаля). Следовательно, давление жидкости на стенку при вращении кюветы линейно зависит от глубины. Если жидкость у боковой стенки во время вращения со скоростью $\omega_{1}$ поднимется до высоты $H$, то силу давления на стенку можно будет выразить через среднее давление $p_{ср} = \frac{ \rho gH}{2}$:
$F_{1} = p_{ср} Ha = \frac{ \rho ga}{2} H^{2}$.
В покоящейся кювете было
$F_{0} = \frac{ \rho ga}{2} h_{0}^{2}$.
Таким образом, увеличение силы давления будет в $n = \left ( \frac{H}{h_{0}} \right )^{2}$ раз.
Для определения $H$ у стенки нужно в уравнение (2) подставить $x = l$. Окончательно, с учетом (3), получим
$n = \left ( \frac{3(1- k^{2} )}{1 - 3k^{2} + 2k^{3} } \right )^{2}$.
Интересный и неожиданный результат: $n$ есть функция только $k$ и не зависит ни от рода жидкости, ни от ее количества, ни от размеров кюветы. И самое главное - $n$ не зависит от $g$, т. е. от того, где во Вселенной вращать кювету: на Земле, на Юпитере или на астероиде. (За исключением лишь одного места: на космическом корабле. Почему там "нельзя вращать" кювету, читатель сможет объяснить сам.) Наконец, если положить $k = 0$, т. е. вращать до той скорости, при которой донышко "только проглянет", то "всегда и везде" будет $n = 9$ (!).
В узкую кювету с параллельными вертикальными стенками налили некоторое количество жидкости (рис.). Затем кювету начали вращать вокруг вертикальной оси симметрии О-О. При некоторой скорости вращения обнажается $k$-я часть площади дна. Как при этом изменилась сила давления на дно и на узкие боковые стенки (по сравнению со случаем неподвижной кюветы)? При вращении жидкость не выплескивается. Поверхностным натяжением пренебречь.
Решение:
Прежде всего введем обозначения: пусть $2l$ - длина кюветы, $a$ - ее ширина, $h_{0}$ - начальная высота налитой в кювету жидкости.
Горизонтальная поверхность жидкости во время вращения искривляется. Так как по условию $a \ll 2l$, можно считать, что поверхность жидкости приобретает цилиндрическую форму. Определим, какой вид имеет граница поверхности на боковой стенке.
Мысленно выделим в поверхностном слое вращающейся жидкости маленький объем на расстоянии $x$ от оси вращения (рис.). На него действуют сила тяжести $m \vec{g}$ и сила $\vec{N}$ реакции всей остальной жидкости на этот объем, которая направлена по нормали к поверхности жидкости в данной точке. Эти две силы создают центростремительное ускорение $a_{ц} = \omega^{2}x$, направленное к оси О-О. Из рисунка
$tg \alpha = \frac{ma_{ц} }{mg} = \frac{ \omega^{2} }{g} x$,
где $\alpha$ - угол наклона силы $\vec{N}$ к вертикали, равный углу наклона к оси X касательной к поверхности жидкости в данной точке.
Тангенс угла $\alpha$ есть $f^{ \prime}(x)$, и можно найти первообразную функцию $y = f(x)$, которая и является уравнением искомой линии:
$y^{ \prime} = f^{ \prime}(x) = \frac{ \omega^{2} }{g}x$,
$y = \frac{ \omega^{2} }{2g} x^{2} + C$.
Здесь $C$ - константа первообразной. Ее смысл - высота столба жидкости по оси Y при $x = 0$. Свободной от жидкости $k$-я часть площади дна ($0 \leq k < 1$) будет, если при $x = kl$ $y = 0$. Отсюда определим $C$:
$0 = \frac{ \omega_{1}^{2} }{2g} (kl)^{2} + C \Rightarrow C = - \frac{ \omega_{1}^{2} }{2g} k^{2}l^{2}$.
Окончательно уравнение (1) перепишется в виде:
$y = \frac{ \omega_{1}^{2} }{2g} (x^{2} - k^{2}l^{2} )$. (2)
Это - уравнение параболы; здесь под $\omega_{1}$ обозначена та угловая скорость, при которой обнажается $k$-я часть площади дна.
Для определения $\omega_{1}$ воспользуемся свойством несжимаемости жидкости. Первоначальный объем жидкости $V = 2lh_{0} a$ во время вращения распределится поровну по обе стороны от оси вращения: $V/2 = Sa$, где $S$ - площадь под поверхностью жидкости, т. е. часть плоскости, под графиком функции $y = f(x)$ на отрезке $kl \leq x \leq l$. Эта площадь криволинейной трапеции соответствует определенному интегралу, взятому в пределах от $kl$ до $l$:
$S = \int_{kl}^{l} ydx = \frac{ \omega_{1}%{2} }{2g} \left ( \int_{kl}^{l} x^{2}dx - k^{2}l^{2} \int_{kl}^{l} dx \right ) = \frac{ \omega_{1}^{2}t^{3} }{6g} (1 - 3k^{2} + 2k^{3} )$.
Теперь из равенства
$lh_{0} a = a \frac{ \omega_{1}^{2}t^{3} }{6g} (1 - 3k^{2} + 2k^{3})$
получаем
$\omega_{1} = \frac{1}{l} \sqrt{ \frac{6gh_{0} }{1 - 3k^{2} + 3k^{3} } }$. (3)
Сила давления на дно во время вращения не меняется. Она по-прежнему равна силе тяжести налитой в кювету жидкости. Сила давления на боковую стенку возрастает. Покажем это.
Мысленно выделим тонкий пристеночный столб жидкости высотой $h$. Из условия его равновесия по вертикали следует, что давление жидкости на этот столб у его нижнего основания равно $p_{h} = \rho gh$ (см. рис.). Но давление в данной точке жидкости изотропно (закон Паскаля). Следовательно, давление жидкости на стенку при вращении кюветы линейно зависит от глубины. Если жидкость у боковой стенки во время вращения со скоростью $\omega_{1}$ поднимется до высоты $H$, то силу давления на стенку можно будет выразить через среднее давление $p_{ср} = \frac{ \rho gH}{2}$:
$F_{1} = p_{ср} Ha = \frac{ \rho ga}{2} H^{2}$.
В покоящейся кювете было
$F_{0} = \frac{ \rho ga}{2} h_{0}^{2}$.
Таким образом, увеличение силы давления будет в $n = \left ( \frac{H}{h_{0}} \right )^{2}$ раз.
Для определения $H$ у стенки нужно в уравнение (2) подставить $x = l$. Окончательно, с учетом (3), получим
$n = \left ( \frac{3(1- k^{2} )}{1 - 3k^{2} + 2k^{3} } \right )^{2}$.
Интересный и неожиданный результат: $n$ есть функция только $k$ и не зависит ни от рода жидкости, ни от ее количества, ни от размеров кюветы. И самое главное - $n$ не зависит от $g$, т. е. от того, где во Вселенной вращать кювету: на Земле, на Юпитере или на астероиде. (За исключением лишь одного места: на космическом корабле. Почему там "нельзя вращать" кювету, читатель сможет объяснить сам.) Наконец, если положить $k = 0$, т. е. вращать до той скорости, при которой донышко "только проглянет", то "всегда и везде" будет $n = 9$ (!).
