Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12514
2020-01-08 
Свет от точечного источника А выводится сквозь непрозрачную стенку с помощью световода - тонкой прозрачной палочки с радиусом сечения $R$ (рис.); внутренняя часть палочки с радиусом $r$ ($R - r \ll r$) сделана из материала с показателем преломления $n_{1}$, а внешняя оболочка - из материала с показателем преломления $n_{2}$ ($n_{2} < n_{1}$). Определите диаметр светового пятна на экране, расположенном на расстоянии $L$ от правого торца световода. Источник света находится вблизи центра левого торца световода.
Как изменится размер пятна, если источник удалить вдоль оси световода на расстояние $l$ от торца?
Решение:
Очевидно, что на экран придут те лучи от источника, которые на поверхности соприкосновения сердцевины и оболочки претерпевают полное отражение и оказываются как бы захваченными сердцевиной световода.
Лучи света проходят в сердцевине световода (рис.), если угол падения $\alpha \geq \alpha_{0}$, где $\alpha_{0}$ - предельный угол полного отражения на границе двух сред с показателями преломления $n_{1}$ и $n_{2}$ ($\sin \alpha_{0} = \frac{n_{2}}{ n_{1} }$).
После преломления на противоположном от источника торце световода лучи света будут расходиться в виде конического пучка. В соответствии с законами геометрической оптики угол преломления находим из условия
$\frac{ \sin \beta}{ \sin (90^{ \circ} - \alpha ) } = n_{1}$.
Луч света будет испытывать на торце палочки наибольшее отклонение, если угол $\alpha$ минимален, т. е. $\alpha = \alpha_{0}$. Тогда для максимального угла преломления получаем выражение, справедливое при $n_{1}^{2} - m_{2}^{2} < 1$:
$\sin \beta_{max} = n_{1} \cos \alpha_{0} = \sqrt{n_{1}^{2} - n_{2}^{2} }$.
Таким образом, зная высоту усеченного конуса (светового пучка) $L$, радиус меньшего основания $r$, угол $\beta_{max}$ между осью конуса и его образующей, легко найти радиус большего основания, или, что то же самое, радиус светового пятна на экране:
$R_{1} = r + L tg \beta_{max}$, (1)
или
$R_{1} = r + L \frac{ \sqrt{n_{1}^{2} - n_{2}^{2} } }{ \sqrt{1 + n_{2}^{2} - n_{1}^{2} } }$. (2)
Если $n_{1}^{2} - n_{2}^{2} \geq 1$, то лучи света будут выходить под любым углом $\beta \leq \pi /2$ и размер светового пятна будет неограничен.
В том случае, когда источник удален на расстояние $l$ от торца световода, в формировании светового пятна могут участвовать лучи, попадающие на левый торец под углами $\gamma \leq \gamma_{max}$, где $tg \gamma_{max} = \frac{r}{l}$. Поэтому выходящий пучок не может иметь угол расхождения больший, чем $\gamma_{max}$, т.е. $\beta \leq \gamma_{max}$ (как при прохождении плоскопараллельной пластины). Если $\beta_{max} \leq \gamma_{max}$, то и для этого случая справедлива формула (2). Если $\beta_{max} > \gamma_{max}$, то в формулу (1) вместо $\beta_{max}$ следует поставить $\gamma_{max}$:
$R_{1} = r \left (1 + \frac{L}{l} \right )$.
Интересно отметить, что плавные изгибы длинной палочки в ее центральной части практически не влияют на величину светового пятна. И еще. Такие световоды позволяют световому сигналу преодолевать не только стену, но и более сложные препятствия. Они весьма перспективны и уже находят широкое применение в технике связи, например при построении помехозащищенного кабельного телевидения в густозастроенных городских районах.
Свет от точечного источника А выводится сквозь непрозрачную стенку с помощью световода - тонкой прозрачной палочки с радиусом сечения $R$ (рис.); внутренняя часть палочки с радиусом $r$ ($R - r \ll r$) сделана из материала с показателем преломления $n_{1}$, а внешняя оболочка - из материала с показателем преломления $n_{2}$ ($n_{2} < n_{1}$). Определите диаметр светового пятна на экране, расположенном на расстоянии $L$ от правого торца световода. Источник света находится вблизи центра левого торца световода.
Как изменится размер пятна, если источник удалить вдоль оси световода на расстояние $l$ от торца?
Решение:
Очевидно, что на экран придут те лучи от источника, которые на поверхности соприкосновения сердцевины и оболочки претерпевают полное отражение и оказываются как бы захваченными сердцевиной световода.
Лучи света проходят в сердцевине световода (рис.), если угол падения $\alpha \geq \alpha_{0}$, где $\alpha_{0}$ - предельный угол полного отражения на границе двух сред с показателями преломления $n_{1}$ и $n_{2}$ ($\sin \alpha_{0} = \frac{n_{2}}{ n_{1} }$).
После преломления на противоположном от источника торце световода лучи света будут расходиться в виде конического пучка. В соответствии с законами геометрической оптики угол преломления находим из условия
$\frac{ \sin \beta}{ \sin (90^{ \circ} - \alpha ) } = n_{1}$.
Луч света будет испытывать на торце палочки наибольшее отклонение, если угол $\alpha$ минимален, т. е. $\alpha = \alpha_{0}$. Тогда для максимального угла преломления получаем выражение, справедливое при $n_{1}^{2} - m_{2}^{2} < 1$:
$\sin \beta_{max} = n_{1} \cos \alpha_{0} = \sqrt{n_{1}^{2} - n_{2}^{2} }$.
Таким образом, зная высоту усеченного конуса (светового пучка) $L$, радиус меньшего основания $r$, угол $\beta_{max}$ между осью конуса и его образующей, легко найти радиус большего основания, или, что то же самое, радиус светового пятна на экране:
$R_{1} = r + L tg \beta_{max}$, (1)
или
$R_{1} = r + L \frac{ \sqrt{n_{1}^{2} - n_{2}^{2} } }{ \sqrt{1 + n_{2}^{2} - n_{1}^{2} } }$. (2)
Если $n_{1}^{2} - n_{2}^{2} \geq 1$, то лучи света будут выходить под любым углом $\beta \leq \pi /2$ и размер светового пятна будет неограничен.
В том случае, когда источник удален на расстояние $l$ от торца световода, в формировании светового пятна могут участвовать лучи, попадающие на левый торец под углами $\gamma \leq \gamma_{max}$, где $tg \gamma_{max} = \frac{r}{l}$. Поэтому выходящий пучок не может иметь угол расхождения больший, чем $\gamma_{max}$, т.е. $\beta \leq \gamma_{max}$ (как при прохождении плоскопараллельной пластины). Если $\beta_{max} \leq \gamma_{max}$, то и для этого случая справедлива формула (2). Если $\beta_{max} > \gamma_{max}$, то в формулу (1) вместо $\beta_{max}$ следует поставить $\gamma_{max}$:
$R_{1} = r \left (1 + \frac{L}{l} \right )$.
Интересно отметить, что плавные изгибы длинной палочки в ее центральной части практически не влияют на величину светового пятна. И еще. Такие световоды позволяют световому сигналу преодолевать не только стену, но и более сложные препятствия. Они весьма перспективны и уже находят широкое применение в технике связи, например при построении помехозащищенного кабельного телевидения в густозастроенных городских районах.
