Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12511
2020-01-08 
Шар радиусом $R$ может свободно вращаться на закрепленной горизонтально оси $OO^{ \prime}$. Под шаром, прижимаясь к нему, движется шероховатая жесткая лента, изогнутая в виде полуцилиндра радиусом $R$ (рис.). Скорость ленты $v$ направлена горизонтально и перпендикулярно оси $OO^{ \prime}$. Чему равна установившаяся скорость вращения шара?
Решение:
Сначала обсудим качественно, что будет происходить с шаром после прижатия к нему ленты.
Поскольку лента шероховатая, в месте контакта на шар действуют силы трения, которые создают вращающий момент, раскручивающий шар. Когда угловая скорость вращения достигнет величины $\omega = \frac{v}{R}$, точка шара В (рис.), максимально удаленная от оси вращения $OO^{ \prime}$, будет иметь линейную скорость, равную скорости ленты: $\omega R = \frac{vR}{R} = v$. Проскальзывание шара относительно ленты в этом месте прекратится, и сила трения (а значит, и ее момент) исчезнет. Однако у всех остальных точек дуги АВС (по которой шар контактирует с лентой) линейная скорость в этот момент меньше, чем $v$ (эти точки ближе к оси вращения), так что шар продолжает разгоняться.
По мере роста угловой скорости шара точка отсутствия проскальзывания перемещается ближе к оси $OO^{ \prime}$, и число участков, имеющих линейную скорость, меньшую $v$, уменьшается. Вместе с тем, растет число участков, где линейная скорость больше $v$, сила трения направлена в противоположную сторону и создает момент сил, тормозящий вращение. В какой-то момент разгоняющий и тормозящий моменты сил сравняются, и угловая скорость перестанет изменяться.
Теперь проведем соответствующие расчеты. Прежде всего найдем, в какой точке будет отсутствовать проскальзывание при установившемся режиме.
Будем считать, что лента прижимается к шару во всех местах с одинаковой силой, тогда на любые два одинаковых участка контакта будут действовать одинаковые (по модулю) силы трения. Пусть искомая точка отсутствия проскальзывания - это точка D (см. рис.). Рассмотрим небольшой участок дуги вблизи этой точки. Его длина $\Delta l = R \Delta \alpha$; действующая на него сила трения $\Delta F = k \Delta l = k R \Delta \alpha$ ($k$ - некоторая постоянная); ее момент $\Delta M = kR \Delta \alpha \cdot R \cos \alpha$. Суммарный момент сил трения
$M = \sum_{i} \Delta M = kR \sum_{i} R \Delta \alpha \cos \alpha_{i}$,
действующий на дугу ВС, при установившемся режиме должен быть равен нулю. Это означает, что должна быть равной нулю сумма проекций дуг BD и DC ("положительной" и "отрицательной" соответственно) на ось вращения $OO^{ \prime}$:
$\sum_{i} R \Delta \alpha \cos \alpha_{i} = 0 \Rightarrow O^{ \prime \prime}D^{ \prime} = D^{ \prime}C = \frac{R}{2}$,
откуда искомая установившаяся угловая скорость
$\omega = \frac{v}{D^{ \prime}D} = \frac{2v}{ \sqrt{3}R } \approx 1,15 \frac{v}{R}$.
Шар радиусом $R$ может свободно вращаться на закрепленной горизонтально оси $OO^{ \prime}$. Под шаром, прижимаясь к нему, движется шероховатая жесткая лента, изогнутая в виде полуцилиндра радиусом $R$ (рис.). Скорость ленты $v$ направлена горизонтально и перпендикулярно оси $OO^{ \prime}$. Чему равна установившаяся скорость вращения шара?
Решение:
Сначала обсудим качественно, что будет происходить с шаром после прижатия к нему ленты.
Поскольку лента шероховатая, в месте контакта на шар действуют силы трения, которые создают вращающий момент, раскручивающий шар. Когда угловая скорость вращения достигнет величины $\omega = \frac{v}{R}$, точка шара В (рис.), максимально удаленная от оси вращения $OO^{ \prime}$, будет иметь линейную скорость, равную скорости ленты: $\omega R = \frac{vR}{R} = v$. Проскальзывание шара относительно ленты в этом месте прекратится, и сила трения (а значит, и ее момент) исчезнет. Однако у всех остальных точек дуги АВС (по которой шар контактирует с лентой) линейная скорость в этот момент меньше, чем $v$ (эти точки ближе к оси вращения), так что шар продолжает разгоняться.
По мере роста угловой скорости шара точка отсутствия проскальзывания перемещается ближе к оси $OO^{ \prime}$, и число участков, имеющих линейную скорость, меньшую $v$, уменьшается. Вместе с тем, растет число участков, где линейная скорость больше $v$, сила трения направлена в противоположную сторону и создает момент сил, тормозящий вращение. В какой-то момент разгоняющий и тормозящий моменты сил сравняются, и угловая скорость перестанет изменяться.
Теперь проведем соответствующие расчеты. Прежде всего найдем, в какой точке будет отсутствовать проскальзывание при установившемся режиме.
Будем считать, что лента прижимается к шару во всех местах с одинаковой силой, тогда на любые два одинаковых участка контакта будут действовать одинаковые (по модулю) силы трения. Пусть искомая точка отсутствия проскальзывания - это точка D (см. рис.). Рассмотрим небольшой участок дуги вблизи этой точки. Его длина $\Delta l = R \Delta \alpha$; действующая на него сила трения $\Delta F = k \Delta l = k R \Delta \alpha$ ($k$ - некоторая постоянная); ее момент $\Delta M = kR \Delta \alpha \cdot R \cos \alpha$. Суммарный момент сил трения
$M = \sum_{i} \Delta M = kR \sum_{i} R \Delta \alpha \cos \alpha_{i}$,
действующий на дугу ВС, при установившемся режиме должен быть равен нулю. Это означает, что должна быть равной нулю сумма проекций дуг BD и DC ("положительной" и "отрицательной" соответственно) на ось вращения $OO^{ \prime}$:
$\sum_{i} R \Delta \alpha \cos \alpha_{i} = 0 \Rightarrow O^{ \prime \prime}D^{ \prime} = D^{ \prime}C = \frac{R}{2}$,
откуда искомая установившаяся угловая скорость
$\omega = \frac{v}{D^{ \prime}D} = \frac{2v}{ \sqrt{3}R } \approx 1,15 \frac{v}{R}$.
