Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12510
2020-01-08 
В схеме, приведенной на рисунке, при разомкнутом ключе К конденсатор заряжен до некоторого напряжения $U_{0}$. Ключ замыкают, и через какое-то время ток в цепи прекращается. Какова должна быть величина $U_{0}$, чтобы напряжение на конденсаторе установилось равным $U_{у} = 1 В$ при изменившейся полярности пластин, если ЭДС каждой батареи в цепи $\mathcal{E} = 1,5 В$? Диоды считать идеальными.
Решение:
Как видно из рисунка, через диод $Д_{1}$ ток может течь только слева направо, а через диод $Д_{2}$ - только справа налево. Таким образом, данная цепь представляет собой колебательный контур, содержащий источник тока с постоянной ЭДС, включенной каждый раз навстречу току.
Пусть в некоторый момент времени при замкнутом ключе К ток в цепи отсутствует, напряжение на конденсаторе равно $U_{n}$, а заряд равен $q_{n} = CU_{n}$ (верхняя пластина конденсатора заряжена положительно). В течение ближайшей следующей половины периода конденсатор будет перезаряжаться - сначала разряжаться, потом заряжаться зарядами противоположных знаков. При этом ток неизменного направления будет течь через диод $Д_{1}$, совершая работу против сторонних сил в источнике. Через полпериода заряд конденсатора станет равным $q_{n + 1}$, так что через источник протечет заряд $q_{n} + q_{n + 1}$ | (знак заряда пластин изменяется).
По закону сохранения энергии убыль энергии электрического поля конденсатора равна работе против сторонних сил:
$\frac{q_{n}^{2} }{2C} - \frac{q_{n + 1}^{2} }{2C} = (q_{n} + q_{n + 1} ) \mathcal{E}$, откуда
$\frac{q_{n} }{2C} - \frac{q_{n + 1} }{2C} = \mathcal{E}$, или $U_{n} - U_{n + 1} = 2 \mathcal{E}$.
Таким образом, через полпериода напряжение на конденсаторе уменьшится на $2 \mathcal{E} = 3 В$. Так будет происходить до тех пор, пока напряжение (при силе тока, равной нулю) не окажется меньше, чем $\mathcal{E} = 1,5 В$. Поскольку по условию задачи конечное напряжение равно 1 В при изменившейся полярности пластин, начальное напряжение на конденсаторе (измеренное в вольтах) может быть равно
$U_{0} = 4 + 6n$, где $n = 0,1, 2, \cdots$
При получении этой серии решений предполагалось, что в каждую половину периода колебаний, включая последнюю, знак зарядов пластин изменяется. Однако возможен случай, когда в последнюю половину периода заряд изменяется от $q_{N - 1}$ до $q_{N}$ без изменений знака. Тогда через источник протекает заряд $q_{N - 1} - q_{N}$ и закон сохранения энергии записывается в виде:
$\frac{q_{N-1}^{2}}{2C} - \frac{q_{N}^{2} }{2C} = (q_{N - 1} - q_{N} ) \mathcal{E}$.
Отсюда получаем
$U_{N - 1} + U_{N} = 2 \mathcal{E}$.
Таким образом, $U_{N - 1} = 2 \mathcal{E} - U_{N} = 2 В$ (верхняя пластина конденсатора имеет отрицательный заряд), $U_{N - 2} = U_{N - 1} + 2 \mathcal{R} = 5 В$ (верхняя пластина заряжена положительно) и т. д. Начальное напряжение в этом случае может быть равно
$U_{0} = 5 + 6n$, где $n = 0,1,2, \cdots$
Итак, имеется две серии решений:
$U_{0} = \begin{cases} 4 + 6n, & n = 0,1,2, \cdots \\ 5 + 6n. \end{cases}$
В схеме, приведенной на рисунке, при разомкнутом ключе К конденсатор заряжен до некоторого напряжения $U_{0}$. Ключ замыкают, и через какое-то время ток в цепи прекращается. Какова должна быть величина $U_{0}$, чтобы напряжение на конденсаторе установилось равным $U_{у} = 1 В$ при изменившейся полярности пластин, если ЭДС каждой батареи в цепи $\mathcal{E} = 1,5 В$? Диоды считать идеальными.
Решение:
Как видно из рисунка, через диод $Д_{1}$ ток может течь только слева направо, а через диод $Д_{2}$ - только справа налево. Таким образом, данная цепь представляет собой колебательный контур, содержащий источник тока с постоянной ЭДС, включенной каждый раз навстречу току.
Пусть в некоторый момент времени при замкнутом ключе К ток в цепи отсутствует, напряжение на конденсаторе равно $U_{n}$, а заряд равен $q_{n} = CU_{n}$ (верхняя пластина конденсатора заряжена положительно). В течение ближайшей следующей половины периода конденсатор будет перезаряжаться - сначала разряжаться, потом заряжаться зарядами противоположных знаков. При этом ток неизменного направления будет течь через диод $Д_{1}$, совершая работу против сторонних сил в источнике. Через полпериода заряд конденсатора станет равным $q_{n + 1}$, так что через источник протечет заряд $q_{n} + q_{n + 1}$ | (знак заряда пластин изменяется).
По закону сохранения энергии убыль энергии электрического поля конденсатора равна работе против сторонних сил:
$\frac{q_{n}^{2} }{2C} - \frac{q_{n + 1}^{2} }{2C} = (q_{n} + q_{n + 1} ) \mathcal{E}$, откуда
$\frac{q_{n} }{2C} - \frac{q_{n + 1} }{2C} = \mathcal{E}$, или $U_{n} - U_{n + 1} = 2 \mathcal{E}$.
Таким образом, через полпериода напряжение на конденсаторе уменьшится на $2 \mathcal{E} = 3 В$. Так будет происходить до тех пор, пока напряжение (при силе тока, равной нулю) не окажется меньше, чем $\mathcal{E} = 1,5 В$. Поскольку по условию задачи конечное напряжение равно 1 В при изменившейся полярности пластин, начальное напряжение на конденсаторе (измеренное в вольтах) может быть равно
$U_{0} = 4 + 6n$, где $n = 0,1, 2, \cdots$
При получении этой серии решений предполагалось, что в каждую половину периода колебаний, включая последнюю, знак зарядов пластин изменяется. Однако возможен случай, когда в последнюю половину периода заряд изменяется от $q_{N - 1}$ до $q_{N}$ без изменений знака. Тогда через источник протекает заряд $q_{N - 1} - q_{N}$ и закон сохранения энергии записывается в виде:
$\frac{q_{N-1}^{2}}{2C} - \frac{q_{N}^{2} }{2C} = (q_{N - 1} - q_{N} ) \mathcal{E}$.
Отсюда получаем
$U_{N - 1} + U_{N} = 2 \mathcal{E}$.
Таким образом, $U_{N - 1} = 2 \mathcal{E} - U_{N} = 2 В$ (верхняя пластина конденсатора имеет отрицательный заряд), $U_{N - 2} = U_{N - 1} + 2 \mathcal{R} = 5 В$ (верхняя пластина заряжена положительно) и т. д. Начальное напряжение в этом случае может быть равно
$U_{0} = 5 + 6n$, где $n = 0,1,2, \cdots$
Итак, имеется две серии решений:
$U_{0} = \begin{cases} 4 + 6n, & n = 0,1,2, \cdots \\ 5 + 6n. \end{cases}$
