Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12505
2020-01-08 
Концы двух однородных стержней привязаны друг к другу невесомыми и нерастяжимыми нитями. Один из стержней подвязали за середину к штативу. Доказать, что образованный таким образом из нитей и стержней четырехугольник является трапецией.
Решение:
Заметим, что в зависимости от длин стержней и нитей параллельными будут или стержни, или нити. Если параллельны нити, очевидно, что полученная фигура будет трапецией. Поэтому покажем, что если нити не параллельны, то параллельны стержни.
Докажем (см. рисунок), что середина стержня MN (точка В) и точка С пересечения продолжений нитей МВ и BN находятся на прямой ОA (А - середина стержня ED). Очевидно, что нить ОА вертикальна (силы, действующие на нее, вертикальны). Далее, сила натяжения нити ОА, действующая на стержень EI, и сила тяжести стержня вертикальны; поэтому из равновесия стержня следует, что силы натяжения нитей ЕМ и DN пересекаются в точке С, лежащей на вертикали ОА. Из условия равновесия стержня MN следует, что точка В также находится на вертикали ОА.
Докажем теперь, что ED $\parallel$ МN. Предположим, что это утверждение неверно, и проведем через точку А прямую, параллельную MN. Отрезок KL параллелен отрезку MN и в точке А делится пополам, кроме того, $\angle KAE = \angle DAL$, поэтому треугольники ЕКА и LAD равны. Отсюда следует, что $\angle EKA = \angle ALD$, а это неверно, так как $\angle EKA$ - внешний угол треугольника CKL, a $\angle ALD$ - внутренний. Следовательно, предположение, что ED не параллельно MN, не верно.
Найдем условие, которое позволит определить, в каком случае параллельны нити, а в каком - стержни. Проведем из точки Е прямую ЕF $\parallel$ DN. Условие возможности параллельности стержней эквивалентно условию возможности построения треугольника из отрезков ME и EF = DN (равных длинам нитей) и отрезка $MF = | MN - ED |$ (равного разности длин стержней):
$MF > |EM - DN |$.
Таким образом, если разность длин стержней больше разности длин нитей, то параллельны стержни, в противном случае параллельны нити. В частности, если равны стержни, то параллельны нити, если же равны нити, то параллельны стержни. Если разности длин стержней и нитей одинаковы, то и стержни, и нити лежат на вертикали ОА.
Концы двух однородных стержней привязаны друг к другу невесомыми и нерастяжимыми нитями. Один из стержней подвязали за середину к штативу. Доказать, что образованный таким образом из нитей и стержней четырехугольник является трапецией.
Решение:
Заметим, что в зависимости от длин стержней и нитей параллельными будут или стержни, или нити. Если параллельны нити, очевидно, что полученная фигура будет трапецией. Поэтому покажем, что если нити не параллельны, то параллельны стержни.
Докажем (см. рисунок), что середина стержня MN (точка В) и точка С пересечения продолжений нитей МВ и BN находятся на прямой ОA (А - середина стержня ED). Очевидно, что нить ОА вертикальна (силы, действующие на нее, вертикальны). Далее, сила натяжения нити ОА, действующая на стержень EI, и сила тяжести стержня вертикальны; поэтому из равновесия стержня следует, что силы натяжения нитей ЕМ и DN пересекаются в точке С, лежащей на вертикали ОА. Из условия равновесия стержня MN следует, что точка В также находится на вертикали ОА.
Докажем теперь, что ED $\parallel$ МN. Предположим, что это утверждение неверно, и проведем через точку А прямую, параллельную MN. Отрезок KL параллелен отрезку MN и в точке А делится пополам, кроме того, $\angle KAE = \angle DAL$, поэтому треугольники ЕКА и LAD равны. Отсюда следует, что $\angle EKA = \angle ALD$, а это неверно, так как $\angle EKA$ - внешний угол треугольника CKL, a $\angle ALD$ - внутренний. Следовательно, предположение, что ED не параллельно MN, не верно.
Найдем условие, которое позволит определить, в каком случае параллельны нити, а в каком - стержни. Проведем из точки Е прямую ЕF $\parallel$ DN. Условие возможности параллельности стержней эквивалентно условию возможности построения треугольника из отрезков ME и EF = DN (равных длинам нитей) и отрезка $MF = | MN - ED |$ (равного разности длин стержней):
$MF > |EM - DN |$.
Таким образом, если разность длин стержней больше разности длин нитей, то параллельны стержни, в противном случае параллельны нити. В частности, если равны стержни, то параллельны нити, если же равны нити, то параллельны стержни. Если разности длин стержней и нитей одинаковы, то и стержни, и нити лежат на вертикали ОА.
