Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12504
2020-01-08 
Математический маятник длиной $l$ покоится в точке А на конусе с углом раствора $2 \beta$ (рис.). Какой путь пройдет маятник до отрыва от поверхности конуса, если легким толчком маятник вывести из положения равновесия? Угол наклона конуса к поверхности земли $\alpha$, поверхность конуса считается гладкой.
Решение:
Поскольку верхний конец нити закреплен, маятник до отрыва от поверхности конуса будет двигаться по окружности. Плоскость этой окружности наклонена под углом ($\pi / 2 - \alpha$) к горизонту, ее радиус $r = l \sin \beta$. По мере соскальзывания с конуса скорость точки А растет, значит, должно увеличиваться и ее центростремительное ускорение. В некоторый момент действующих на маятник сил может "не хватить" для продолжения движения по окружности, и тогда произойдет отрыв точки А от поверхности конуса.
Рассмотрим силы, действующие на точку А при ее движении по конусу. Это сила тяжести $m \vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}$ и сила реакции опоры $\vec{N}$ (рис.). В момент отрыва сила реакции обращается в нуль. Этим и воспользуемся для ответа на вопрос задачи.
Введем систему координат так, как показано на рисунке: направим ось X по радиусу к центру окружности, ось Y - по касательной к окружности и ось Z - по нормали к плоскости окружности. Запишем второй закон Ньютона в проекциях не каждую ось координат:
$ma_{x} = mg \cos \alpha \cos \phi - N \cos \beta + T \sin \beta$,
$ma_{y} = mg \cos \alpha \sin \phi$.
$ma_{z} = T \cos \beta + N \sin \beta - mg \sin \alpha = 0$,
где $a_{x} = \frac{v^{2}}{r}$ - центростремительное ускорение маятника, движущегося со скоростью $v, a_{y}$ - его тангенциальное ускорение. Для решения нам достаточно первого и третьего уравнений. Учитывая, что из закона сохранения энергии
$v^{2} = 2gr(1 - \cos \phi) \cos \alpha$,
получаем
$N = mg \frac{ \cos \alpha (3 \cos \phi -2) + \sin \alpha tg \beta }{ \cos \beta + \sin \beta tg \beta }$.
Тогда условие отрыва принимает вид:
$\cos \phi = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} tg \alpha tg \beta$,
откуда находим искомый путь $s$, пройденный точкой А маятника до отрыва от поверхности конуса:
$s = r \phi = l \sin \beta arccos \left ( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} tg \alpha tg \beta \right )$.
Заметим, что при $\alpha = \beta = 0$ получаем известный частный случай - соскальзывание тела с вершины сферической или цилиндрической поверхности.
Математический маятник длиной $l$ покоится в точке А на конусе с углом раствора $2 \beta$ (рис.). Какой путь пройдет маятник до отрыва от поверхности конуса, если легким толчком маятник вывести из положения равновесия? Угол наклона конуса к поверхности земли $\alpha$, поверхность конуса считается гладкой.
Решение:
Поскольку верхний конец нити закреплен, маятник до отрыва от поверхности конуса будет двигаться по окружности. Плоскость этой окружности наклонена под углом ($\pi / 2 - \alpha$) к горизонту, ее радиус $r = l \sin \beta$. По мере соскальзывания с конуса скорость точки А растет, значит, должно увеличиваться и ее центростремительное ускорение. В некоторый момент действующих на маятник сил может "не хватить" для продолжения движения по окружности, и тогда произойдет отрыв точки А от поверхности конуса.
Рассмотрим силы, действующие на точку А при ее движении по конусу. Это сила тяжести $m \vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}$ и сила реакции опоры $\vec{N}$ (рис.). В момент отрыва сила реакции обращается в нуль. Этим и воспользуемся для ответа на вопрос задачи.
Введем систему координат так, как показано на рисунке: направим ось X по радиусу к центру окружности, ось Y - по касательной к окружности и ось Z - по нормали к плоскости окружности. Запишем второй закон Ньютона в проекциях не каждую ось координат:
$ma_{x} = mg \cos \alpha \cos \phi - N \cos \beta + T \sin \beta$,
$ma_{y} = mg \cos \alpha \sin \phi$.
$ma_{z} = T \cos \beta + N \sin \beta - mg \sin \alpha = 0$,
где $a_{x} = \frac{v^{2}}{r}$ - центростремительное ускорение маятника, движущегося со скоростью $v, a_{y}$ - его тангенциальное ускорение. Для решения нам достаточно первого и третьего уравнений. Учитывая, что из закона сохранения энергии
$v^{2} = 2gr(1 - \cos \phi) \cos \alpha$,
получаем
$N = mg \frac{ \cos \alpha (3 \cos \phi -2) + \sin \alpha tg \beta }{ \cos \beta + \sin \beta tg \beta }$.
Тогда условие отрыва принимает вид:
$\cos \phi = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} tg \alpha tg \beta$,
откуда находим искомый путь $s$, пройденный точкой А маятника до отрыва от поверхности конуса:
$s = r \phi = l \sin \beta arccos \left ( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} tg \alpha tg \beta \right )$.
Заметим, что при $\alpha = \beta = 0$ получаем известный частный случай - соскальзывание тела с вершины сферической или цилиндрической поверхности.
