Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12502
2020-01-08 
Легкий горизонтальный стержень длиной $2a$ может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. Одинаковые массивные шары насажены на стержень и могут перемещаться вдоль него без трения и упруго отражаться от упоров на его концах (рис.). Сначала шары закреплены на расстояниях $a/2$ от оси. Стержень раскручивают до угловой скорости $\omega_{0}$, после чего шары одновременно освобождают. По каким траекториям будут двигаться шары? За какое время стержень совершит полный оборот? Построить график зависимости $\omega (t)$. Размеры шаров много меньше длины стержня.
Решение:
В силу симметрии начального расположения и начальных скоростей шары всегда будут находиться в симметричных точках, и иметь симметричные скорости. Тогда легко показать, что шары будут двигаться свободно, кроме моментов отражения от упоров.
Действительно, предположим, что на шар А действует сила $\vec{F}$, перпендикулярная стержню (продольных сил нет, так как нет трения). Тогда из соображений симметрии на шар В должна действовать сила $- \vec{F}$ (рис.). Но это означает, что со стороны шаров на стержень будет действовать раскручивающая его пара сил. Пренебрегая массой стержня по сравнению с массами шаров, заключаем, что эти силы должны быть пренебрежимо малы (в пределе для того, чтобы поворачивать невесомый стержень, сил вообще не требуется). Таким образом, мы приходим к выводу, что между столкновениями с упорами шары будут двигаться равномерно и прямолинейно.
Проанализируем теперь столкновения шаров с упорами. Во-первых, при столкновении сохраняется Х-компонента импульса (рис.), так как иначе на шары в момент удара будут действовать силы, перпендикулярные стержню, что невозможно в силу предыдущих рассуждений. Во-вторых, в силу упругости соударений сохраняется энергия. Поэтому при соударениях шаров с упорами выполняется закон равенства углов падения и отражения.
Из приведенных рассуждений и геометрии задачи ясно, что траекторией каждого шара будет равносторонний треугольник со стороной $l = 2a \cos 30^{ \circ} = a \sqrt{3}$ (см. рис.).
Стержень совершит полный оборот за время $T$, которое понадобится шару, чтобы обойти такой треугольник со скоростью, равной начальной скорости $v_{0} = \frac{ \omega_{0} a }{2}$, оа/2. Таким образом,
$T = \frac{3l}{ v_{0}} = \frac{6 \sqrt{3}}{ \omega_{0} }$.
Найдем зависимость $\omega(t)$. Понятно, что $\omega = \frac{v_{1}}{r}$, где $v_{1}$ - перпендикулярная к радиусу компонента скорости шара, т. е. $v_{1} = v \cos \alpha = \frac{va}{2r}$. Следовательно,
$\omega = \frac{va}{2r^{2} } = \frac{ \omega_{0} }{1 + \left ( \frac{2x}{a} \right )^{2} }$
(см. рис.). Если начинать с момента, когда $\alpha = 0$, то $x = v_{0}t$,
$\omega = \frac{ \omega_{0}}{1 + ( \omega_{0}t )^{2} }$ при $- \frac{ \sqrt{З}}{ \omega_{0}} \leq t \leq \frac{ \sqrt{3} }{ \omega_{0} }$.
В момент $t = \frac{ \sqrt{З}}{ \omega_{0}}$ произойдет удар об упор, и цикл повторится (см. рис.).
Легкий горизонтальный стержень длиной $2a$ может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. Одинаковые массивные шары насажены на стержень и могут перемещаться вдоль него без трения и упруго отражаться от упоров на его концах (рис.). Сначала шары закреплены на расстояниях $a/2$ от оси. Стержень раскручивают до угловой скорости $\omega_{0}$, после чего шары одновременно освобождают. По каким траекториям будут двигаться шары? За какое время стержень совершит полный оборот? Построить график зависимости $\omega (t)$. Размеры шаров много меньше длины стержня.
Решение:
В силу симметрии начального расположения и начальных скоростей шары всегда будут находиться в симметричных точках, и иметь симметричные скорости. Тогда легко показать, что шары будут двигаться свободно, кроме моментов отражения от упоров.
Действительно, предположим, что на шар А действует сила $\vec{F}$, перпендикулярная стержню (продольных сил нет, так как нет трения). Тогда из соображений симметрии на шар В должна действовать сила $- \vec{F}$ (рис.). Но это означает, что со стороны шаров на стержень будет действовать раскручивающая его пара сил. Пренебрегая массой стержня по сравнению с массами шаров, заключаем, что эти силы должны быть пренебрежимо малы (в пределе для того, чтобы поворачивать невесомый стержень, сил вообще не требуется). Таким образом, мы приходим к выводу, что между столкновениями с упорами шары будут двигаться равномерно и прямолинейно.
Проанализируем теперь столкновения шаров с упорами. Во-первых, при столкновении сохраняется Х-компонента импульса (рис.), так как иначе на шары в момент удара будут действовать силы, перпендикулярные стержню, что невозможно в силу предыдущих рассуждений. Во-вторых, в силу упругости соударений сохраняется энергия. Поэтому при соударениях шаров с упорами выполняется закон равенства углов падения и отражения.
Из приведенных рассуждений и геометрии задачи ясно, что траекторией каждого шара будет равносторонний треугольник со стороной $l = 2a \cos 30^{ \circ} = a \sqrt{3}$ (см. рис.).
Стержень совершит полный оборот за время $T$, которое понадобится шару, чтобы обойти такой треугольник со скоростью, равной начальной скорости $v_{0} = \frac{ \omega_{0} a }{2}$, оа/2. Таким образом,
$T = \frac{3l}{ v_{0}} = \frac{6 \sqrt{3}}{ \omega_{0} }$.
Найдем зависимость $\omega(t)$. Понятно, что $\omega = \frac{v_{1}}{r}$, где $v_{1}$ - перпендикулярная к радиусу компонента скорости шара, т. е. $v_{1} = v \cos \alpha = \frac{va}{2r}$. Следовательно,
$\omega = \frac{va}{2r^{2} } = \frac{ \omega_{0} }{1 + \left ( \frac{2x}{a} \right )^{2} }$
(см. рис.). Если начинать с момента, когда $\alpha = 0$, то $x = v_{0}t$,
$\omega = \frac{ \omega_{0}}{1 + ( \omega_{0}t )^{2} }$ при $- \frac{ \sqrt{З}}{ \omega_{0}} \leq t \leq \frac{ \sqrt{3} }{ \omega_{0} }$.
В момент $t = \frac{ \sqrt{З}}{ \omega_{0}}$ произойдет удар об упор, и цикл повторится (см. рис.).
