2014-05-31
Человек массой $M = 100 кг$ жонглирует десятью гирями массой по $ m = 1 кг$ каждая, стоя на весах. Гири взлетают на высоту $h = 5 м$. Каково среднее показание весов?
Решение:
Пренебрегай сопротивлением воздуха, можно определить скорость гирь в начале и в конце движения, а также время полета гири. Из закона сохранения энергии $mv^{2}/2=mgh$ следует что
$v=\sqrt{2gh} \approx 10 м/с$.
Время подъема гири $\Delta t_{1}$ равно времени ее падения, определяемая из уравнения $g(\Delta t_{1})^{2}/2 = h$, откуда $\Delta t_{1} = \sqrt{2h/g} = 1 с$. Поэтому время полета каждой гири равно $\Delta t = 2 \Delta t_{1} = 2 с$. Когда жонглер ловит гирю, а затем подбрасывает ее, происходит изменение импульса гири
$\Delta p =2mv = 2m \sqrt{2gh}= \approx 20 кг \cdot м/с$.
Это изменение импульса гири равно импульсу действующей на него силы
$\Delta p = F \delta t$,
где $\delta t$ - время взаимодействия гири с жонглером. При этом средняя сила, действующая со стороны человека на гирю, равна
$F=\frac{\Delta p}{\Delta t + \delta t} = \frac{\Delta p}{\Delta t}$,
если считать, что $ \delta t \gg \Delta t$. По III закону Ньютона такая же по величине сила действует на весы со стороны одной гири. Со стороны $N$ гирь средняя сила, действующая на весы, в $N$ раз больше и равна
$F=N \frac{\Delta p}{\Delta t} \approx 100 Н0$.
Среднее показание весов складывается из силы $F$ и веса жонглера $Mg$:
$P = Mg + F \approx 1100 Н$.
Заметим, что после длительных вычислений мы получили тривиальный результат: средний вес жонглера с гирями не зависит от того, жонглирует он или нет, и равен силе тяжести.
Этот же результат можно получить путем простых рассуждений: среднее положение центра масс системы “жонглер+гири не зависит от времени, следовательно по II закону Ньютона среднее значение суммы внешних сил, действующих на эту систему, равно нулю. Внешние силы - это сила тяжести и сила реакции опоры равная, по III закону Ньютона, показанию весов. Таким образом среднее показание весов равно силе тяжести.