ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-01-08   
Математический маятник совершает колебания. Угол максимального отклонения от положения равновесия $\alpha_{0} \leq \frac{} \pi {2}$. Укажите углы $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, при которых ускорение груза принимает наименьшее и наибольшее значения. Нарисуйте графики зависимости $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ от $\alpha_{0}$.


Решение:



Ускорение груза не зависит от того, в какую сторону от положения равновесия отклонен маятник, поэтому достаточно рассмотреть положительные углы отклонения $\vec{ \alpha}$ (рис.).

Полное ускорение груза $\vec{a}$ есть векторная сумма центростремительною ускорения $\vec{a}_{ц}$ и тангенциального ускорения $a_{т}$. Как видно из рисунка, $a_{т} =g \sin \alpha$. Центростремительное ускорение - $a_{ц} = \frac{v^{2}}{l}$. Скорость найдем из закона сохранения энергии:

$\frac{mv^{2} }{2} = mgl( \cos \alpha - \cos \alpha_{0} ) \Rightarrow v^{2} = 2gl ( \cos \alpha - \cos \alpha_{0} )$.

Таким образом,

$a = \sqrt{a_{ц}^{2} + a_{т}^{2} } = g \sqrt{4 ( \cos \alpha - \cos \alpha_{0} )^{2} + \sin^{2} \alpha }$.

Решение задачи сводится к нахождению наименьшего и наибольшего значений квадратного трехчлена от $\cos \alpha$:

$f( \cos \alpha) = 4( \cos \alpha - \cos \alpha_{0} )^{2} + \sin^{2} \alpha = 3 \cos^{2} \alpha - 8 \cos \alpha \cos \alpha_{0} + 4 \cos^{2} \alpha_{0} + 1$.

Найдем производную функции $f$:

$f^{ \prime} ( \cos \alpha ) = 6 \cos \alpha - 8 \cos \alpha_{0}$.

Если $f^{ \prime} ( \cos \alpha ) < 0$, то $f( \cos \alpha)$, а следовательно и ускорение $a$, убывает и свое наименьшее значение принимает при $\alpha_{1} = 0$ для любых $\alpha_{0} \leq \alpha_{0A} = arccos \frac{3}{4}$. Если же $\alpha_{0A} \leq a_{0} \leq \frac{ \pi}{2}$, то ускорение $a$ принимает минимальное значение при $\alpha_{1} = arccos ( \frac{4}{3} \cos \alpha_{0} )$ (см. рис.).

$\Delta = f(1) - f( \cos \alpha_{0} ) = 5 \cos^{2} \alpha_{0} - 8 \cos \alpha_{0} + 3$.

Максимальное значение $f( \cos \alpha_{0} )$ (а следовательно, ускорение $a$) принимает либо при $\cos \alpha = \cos \alpha_{0}$, либо при $\cos \alpha = 1$. Рассмотрим разность

$\Delta = f(1) - f( \cos \alpha_{0}) = 5 \cos^{2} \alpha_{0} - 8 \cos \alpha_{0} + 3$.

Видим, что

$\Delta \leq 0$ при $\cos \alpha_{0} \geq \frac{3}{5}$,
$\Delta > 0$ при $\cos \alpha_{0} < \frac{3}{5}$.


Значит, ускорение а принимает максимальное значение (см. рис.)

при $\alpha_{2} = \alpha_{0}$, если $\alpha_{0} \leq \alpha_{0B} = arccos \frac{3}{5}$,
при $\alpha_{2} = 0$, если $\alpha_{0B} < a_{0} \leq \frac{ \pi}{2}$.