Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12490
2020-01-08 
По одной из гипотез звезды образуются из межзвездной среды (космическая пыль) путем сжатия под действием гравитационных сил. Оцените время образования звезды из гигантского сферического облака космической пыли плотностью $\rho = 2 \cdot 10^{-20} г/см^{3}$. Можно считать, что при сжатии частицы не обгоняют друг друга. Гравитационная постоянная $G = 6,67 \cdot 10^{-11} Н \cdot м^{2}/кг^{2}$.
Решение:
Рассмотрим частицу пыли сферического облака, находящуюся на расстоянии $R$ от центра облака. На нее, как известно, действуют силы тяготения со стороны только тех частиц, которые находятся внутри сферы радиусом $R$. Поскольку, по условию задачи, частицы не обгоняют друг друга, суммарная масса, притягивающая нашу частицу, остается неизменной. Предположим, что вся эта масса сосредоточена в центре облака. Тогда задача сведется к нахождению времени падения частицы на притягивающий центр.
Будем рассматривать движение частицы к центру как предельный случай движения по очень вытянутому эллипсу, большая полуось которого равна $R/2$, и сравним это движение с обращением по круговой орбите радиусом $R$. Воспользуемся третьим законом Кеплера:
$\frac{T_{к}^{2} }{T_{э}^{2} } = \frac{R^{3} }{(R/2)^{3} }$
где $T_{к}$ - период движения по круговой орбите, $T_{э}$ - по эллиптической орбите. Период $T_{к}$ найти легко с помощью второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения:
$\frac{mv^{2} }{R} = F_{т} = G \frac{mM}{R^{2} } = G \frac{m \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^{3} }{R^{2} }$,
откуда $T_{к} = \frac{2 \pi R}{v} = \sqrt{ \frac{3 \pi}{G \rho} }$, и
$T_{э } = \frac{T_{к}}{2^{3/2} } = \sqrt{ \frac{3 \pi}{8 G \rho} }$.
Мы получили, что период $T_{э}$ не зависит от $R$. Следовательно, и время падения частицы на притягивающий центр (время образования звезды), равное половине периода обращения по эллиптической орбите, не зависит от радиуса облака космической пыли и равно
$\tau = \frac{T_{э}}{2} = \sqrt{ \frac{3 \pi}{32 G \rho} } \approx 1,5 \cdot 10^{13} с \approx 10^{6} лет$.
По одной из гипотез звезды образуются из межзвездной среды (космическая пыль) путем сжатия под действием гравитационных сил. Оцените время образования звезды из гигантского сферического облака космической пыли плотностью $\rho = 2 \cdot 10^{-20} г/см^{3}$. Можно считать, что при сжатии частицы не обгоняют друг друга. Гравитационная постоянная $G = 6,67 \cdot 10^{-11} Н \cdot м^{2}/кг^{2}$.
Решение:
Рассмотрим частицу пыли сферического облака, находящуюся на расстоянии $R$ от центра облака. На нее, как известно, действуют силы тяготения со стороны только тех частиц, которые находятся внутри сферы радиусом $R$. Поскольку, по условию задачи, частицы не обгоняют друг друга, суммарная масса, притягивающая нашу частицу, остается неизменной. Предположим, что вся эта масса сосредоточена в центре облака. Тогда задача сведется к нахождению времени падения частицы на притягивающий центр.
Будем рассматривать движение частицы к центру как предельный случай движения по очень вытянутому эллипсу, большая полуось которого равна $R/2$, и сравним это движение с обращением по круговой орбите радиусом $R$. Воспользуемся третьим законом Кеплера:
$\frac{T_{к}^{2} }{T_{э}^{2} } = \frac{R^{3} }{(R/2)^{3} }$
где $T_{к}$ - период движения по круговой орбите, $T_{э}$ - по эллиптической орбите. Период $T_{к}$ найти легко с помощью второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения:
$\frac{mv^{2} }{R} = F_{т} = G \frac{mM}{R^{2} } = G \frac{m \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^{3} }{R^{2} }$,
откуда $T_{к} = \frac{2 \pi R}{v} = \sqrt{ \frac{3 \pi}{G \rho} }$, и
$T_{э } = \frac{T_{к}}{2^{3/2} } = \sqrt{ \frac{3 \pi}{8 G \rho} }$.
Мы получили, что период $T_{э}$ не зависит от $R$. Следовательно, и время падения частицы на притягивающий центр (время образования звезды), равное половине периода обращения по эллиптической орбите, не зависит от радиуса облака космической пыли и равно
$\tau = \frac{T_{э}}{2} = \sqrt{ \frac{3 \pi}{32 G \rho} } \approx 1,5 \cdot 10^{13} с \approx 10^{6} лет$.
