Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1249
2016-10-20 
При электрическом разряде в разреженном неоне $(Ne)$ при комнатной температуре очень небольшая часть атомов неона распадается на электроны и ионы (масса атома неона $M$ в $4 \cdot 10^{4}$ раз больше массы электрона $m_{e}$). Длина свободного пробега электронов (то есть среднее расстояние, которое электрон проходит без соударений) $l = 0,1 мм$. Газ находится в электрическом поле напряжённостью $E = 10 В/см$. Оцените «температуру» электронов $T_{e}$, соответствующую их средней кинетической энергии. Постоянная Больцмана $k = 1,38 \cdot 10^{-23} Дж/К$, заряд электрона $e = -1,6 \cdot 10^{-19} Кл$.
Решение:
Рассмотрим столкновение свободного электрона с атомом газа. Будем считать, что электрон до столкновения движется с некоторой характерной скоростью $v$, атом покоится, и что столкновение лобовое и абсолютно упругое (по условию акты ионизации атомов неона происходят очень редко). Тогда законы сохранения импульса и энергии можно записать в виде:
$m_{e}v = m_{e}v^{ \prime} + M u^{ \prime}, \frac{m_{e}v^{2}}{2} = \frac{m_{e}v^{ \prime 2}}{2} + \frac{Mu^{ \prime 2}}{2}$,
где $v^{ \prime}$ и $u^{ \prime}$ — скорости электрона и атома после столкновения. Отсюда
$v^{ \prime} = \frac{m_{e} - M}{m_{e} + M} v$
(после столкновения намного более лёгкий электрон изменяет направление своего движения), и уменьшение кинетической энергии электрона при лобовом столкновении составляет
$\Delta W = \frac{m_{e}(v^{2} - v^{ \prime 2})}{2} = \frac{m_{e}v^{2}}{2} \cdot \frac{4Mm_{e}}{(m_{e} + M)^{2}} \approx \frac{m_{e}v^{2}}{2} \cdot \frac{4m_{e}}{M} \ll \frac{m_{e}v^{2}}{2}$.
Последнее неравенство означает, что скорость движения электрона между соударениями изменяется в очень небольших пределах, то есть всё время близка к $v$. Таким образом, можно считать, что $v$ — это средняя скорость хаотического движения электронов в плазме газового разряда. Поскольку при нелобовых соударениях уменьшение кинетической энергии электрона будет, очевидно, лежать в пределах от 0 до $\Delta W$, то можно считать, что среднее уменьшение кинетической энергии электрона при столкновении с атомом неона составляет
$\frac{ \Delta W}{2} \approx \frac{m_{e}v^{2}}{2} \cdot \frac{2m_{e}}{M}$.
Будем считать, что между ударами электрон движется под действием электрического поля равноускоренно с ускорением $a = eE/m_{e}$ в течение промежутка времени $\tau = l/v$. Тогда за это время электрическое поле совершает над электроном работу
$\Delta A = eE \cdot \frac{a \tau^{2}}{2} = \frac{(eEl)^{2}}{2m_{e}v^{2}}$.
В установившемся режиме среднее уменьшение кинетической энергии электрона $\frac{ \Delta W}{2}$, происходящее при соударении, должно на каждом интервале между соударениями компенсироваться работой $\Delta A$ сил электрического поля:
$\frac{m_{e}v^{2}}{2} \cdot \frac{2m_{e}}{M} = \frac{(eEl)^{2}}{2m_{e}v^{2}}$.
Отсюда средняя кинетическая энергия движения электронов
$W = \frac{m_{e}v^{2}}{2} = \frac{|e| El}{ 2 \sqrt{2}} \sqrt{ \frac{M}{m_{e}}}$.
Соответствующая этой энергии «температура» электронов может быть оценена при помощи соотношения $W \sim \frac{3}{2}kT_{e}$ откуда
$T_{e} \sim \frac{|e|El}{3 \sqrt{2} k} \sqrt{ \frac{M}{m_{e}}} \approx 5,6 \cdot 10^{4} К$.
При электрическом разряде в разреженном неоне $(Ne)$ при комнатной температуре очень небольшая часть атомов неона распадается на электроны и ионы (масса атома неона $M$ в $4 \cdot 10^{4}$ раз больше массы электрона $m_{e}$). Длина свободного пробега электронов (то есть среднее расстояние, которое электрон проходит без соударений) $l = 0,1 мм$. Газ находится в электрическом поле напряжённостью $E = 10 В/см$. Оцените «температуру» электронов $T_{e}$, соответствующую их средней кинетической энергии. Постоянная Больцмана $k = 1,38 \cdot 10^{-23} Дж/К$, заряд электрона $e = -1,6 \cdot 10^{-19} Кл$.
Решение:
Рассмотрим столкновение свободного электрона с атомом газа. Будем считать, что электрон до столкновения движется с некоторой характерной скоростью $v$, атом покоится, и что столкновение лобовое и абсолютно упругое (по условию акты ионизации атомов неона происходят очень редко). Тогда законы сохранения импульса и энергии можно записать в виде:
$m_{e}v = m_{e}v^{ \prime} + M u^{ \prime}, \frac{m_{e}v^{2}}{2} = \frac{m_{e}v^{ \prime 2}}{2} + \frac{Mu^{ \prime 2}}{2}$,
где $v^{ \prime}$ и $u^{ \prime}$ — скорости электрона и атома после столкновения. Отсюда
$v^{ \prime} = \frac{m_{e} - M}{m_{e} + M} v$
(после столкновения намного более лёгкий электрон изменяет направление своего движения), и уменьшение кинетической энергии электрона при лобовом столкновении составляет
$\Delta W = \frac{m_{e}(v^{2} - v^{ \prime 2})}{2} = \frac{m_{e}v^{2}}{2} \cdot \frac{4Mm_{e}}{(m_{e} + M)^{2}} \approx \frac{m_{e}v^{2}}{2} \cdot \frac{4m_{e}}{M} \ll \frac{m_{e}v^{2}}{2}$.
Последнее неравенство означает, что скорость движения электрона между соударениями изменяется в очень небольших пределах, то есть всё время близка к $v$. Таким образом, можно считать, что $v$ — это средняя скорость хаотического движения электронов в плазме газового разряда. Поскольку при нелобовых соударениях уменьшение кинетической энергии электрона будет, очевидно, лежать в пределах от 0 до $\Delta W$, то можно считать, что среднее уменьшение кинетической энергии электрона при столкновении с атомом неона составляет
$\frac{ \Delta W}{2} \approx \frac{m_{e}v^{2}}{2} \cdot \frac{2m_{e}}{M}$.
Будем считать, что между ударами электрон движется под действием электрического поля равноускоренно с ускорением $a = eE/m_{e}$ в течение промежутка времени $\tau = l/v$. Тогда за это время электрическое поле совершает над электроном работу
$\Delta A = eE \cdot \frac{a \tau^{2}}{2} = \frac{(eEl)^{2}}{2m_{e}v^{2}}$.
В установившемся режиме среднее уменьшение кинетической энергии электрона $\frac{ \Delta W}{2}$, происходящее при соударении, должно на каждом интервале между соударениями компенсироваться работой $\Delta A$ сил электрического поля:
$\frac{m_{e}v^{2}}{2} \cdot \frac{2m_{e}}{M} = \frac{(eEl)^{2}}{2m_{e}v^{2}}$.
Отсюда средняя кинетическая энергия движения электронов
$W = \frac{m_{e}v^{2}}{2} = \frac{|e| El}{ 2 \sqrt{2}} \sqrt{ \frac{M}{m_{e}}}$.
Соответствующая этой энергии «температура» электронов может быть оценена при помощи соотношения $W \sim \frac{3}{2}kT_{e}$ откуда
$T_{e} \sim \frac{|e|El}{3 \sqrt{2} k} \sqrt{ \frac{M}{m_{e}}} \approx 5,6 \cdot 10^{4} К$.
