Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12487
2020-01-08 
Папа Карло сделал для Буратино колпак из тонкой жести. Колпак имеет форму конуса высотой $H = 20 см$ с углом $\alpha = 60^{ \circ}$ при вершине. Будет ли этот колпак держаться на голове у Буратино, если эта голова - гладкий шар диаметром $D = 15 см$?
Решение:
Для решения задачи нам необходимо, во-первых, определить положение центра масс колпака. С этой целью разобьем мысленно колпак на стопку узких колец одинаковой ширины $dH$ (рис.). При этом масса колец нарастает линейно вниз от вершины к основанию колпака. Центр масс каждого кольца находится на его оси. "Сплющим" мысленно колпак так, что каждое кольцо превратится в равнобедренную трапецию, а весь конус превратится в равнобедренный треугольник. Центр масс каждой составной части колпака останется на месте (на оси), поэтому и центр масс всей системы останется на месте. Но, как известно, центр масс треугольной пластины находится в точке пересечения медиан. Следовательно, центр масс колпака находится на его оси на расстоянии $2/3H$ от вершины.
Положение равновесия системы будет устойчивым, если при небольшом ее смещении из положения равновесия центр масс поднимается (потенциальная энергия системы увеличивается); тогда система, предоставленная сама себе, возвращается в исходное положение равновесия.
В нашем случае для того, чтобы колпак занимал устойчивое положение равновесия на голове Буратино, его центр масс (точка М на рисунке) должен оказаться ниже центра головы Буратино (точка О). Следовательно, должно выполняться условие $AM > AO$, т. е.
$\frac{2}{3} H > \frac{R}{ \sin \frac{ \alpha}{2}} \Leftrightarrow \frac{2}{3}H > \frac{R}{ \frac{1}{2} }$,
или $H > 3R = 22,5 см$. А по условию $H = 20 см$. Значит, колпак не будет держаться на голове Буратино.
Папа Карло сделал для Буратино колпак из тонкой жести. Колпак имеет форму конуса высотой $H = 20 см$ с углом $\alpha = 60^{ \circ}$ при вершине. Будет ли этот колпак держаться на голове у Буратино, если эта голова - гладкий шар диаметром $D = 15 см$?
Решение:
Для решения задачи нам необходимо, во-первых, определить положение центра масс колпака. С этой целью разобьем мысленно колпак на стопку узких колец одинаковой ширины $dH$ (рис.). При этом масса колец нарастает линейно вниз от вершины к основанию колпака. Центр масс каждого кольца находится на его оси. "Сплющим" мысленно колпак так, что каждое кольцо превратится в равнобедренную трапецию, а весь конус превратится в равнобедренный треугольник. Центр масс каждой составной части колпака останется на месте (на оси), поэтому и центр масс всей системы останется на месте. Но, как известно, центр масс треугольной пластины находится в точке пересечения медиан. Следовательно, центр масс колпака находится на его оси на расстоянии $2/3H$ от вершины.
Положение равновесия системы будет устойчивым, если при небольшом ее смещении из положения равновесия центр масс поднимается (потенциальная энергия системы увеличивается); тогда система, предоставленная сама себе, возвращается в исходное положение равновесия.
В нашем случае для того, чтобы колпак занимал устойчивое положение равновесия на голове Буратино, его центр масс (точка М на рисунке) должен оказаться ниже центра головы Буратино (точка О). Следовательно, должно выполняться условие $AM > AO$, т. е.
$\frac{2}{3} H > \frac{R}{ \sin \frac{ \alpha}{2}} \Leftrightarrow \frac{2}{3}H > \frac{R}{ \frac{1}{2} }$,
или $H > 3R = 22,5 см$. А по условию $H = 20 см$. Значит, колпак не будет держаться на голове Буратино.
