Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12483
2020-01-08 
На угол величиной $\alpha$, согнутый из тонкого гладкого стержня, надета легкая петля длиной $l$ с прикрепленным к ней небольшим грузом: угол установлен вертикально. Найдите расстояние от груза до вершины угла в положении равновесия и период малых колебаний груза в плоскости угла.
Решение:
Во-первых заметим, что веревка, перекинутая через гладкий стержень, образует с ним равные углы независимо от положения груза (рис.). Это ясно уже из того, что сумма $\vec{T}$ сил натяжения веревки по обе стороны стержня должна быть перпендикулярна стержню, иначе из-за отсутствия силы трения нечем будет компенсировать тангенциальную составляющую $\vec{T}^{ \prime}$. Во-вторых, совершим следующую операцию отразим зеркально грузик, отклонившийся от положения равновесия в плоскости угла и в точку С (рис.), относительно каждой из сторон угла. Тогда, в силу равенства вышеупомянутых углов, прямая, соединившая точки $C^{ \prime}$ и $C^{ \prime \prime}$, будет проходить вдоль отрезка $AB$. При этом, естественно, $OC = OC^{ \prime} = OC^{ \prime \prime}$ так как $OC^{ \prime}$ и $OC^{ \prime \prime}$ - отражения отрезка $OC$. Следовательно, построенный нами треугольник $C^{ \prime}OC^{ \prime \prime}$ - равнобедренный, т. е. $\angle OC^{ \prime \prime}C^{ \prime} = = \angle OC^{ \prime}C^{ \prime \prime}$, a $\angle C^{ \prime}OC^{ \prime \prime}$, как это легко видеть, равен $2 \alpha$. Отсюда ясно, что при колебаниях груза треугольник $C^{ \prime}OC^{ \prime \prime}$ в плоскости угла $\alpha$ меняет только свое положение, но сохраняет форму. Это значит, что $OC^{ \prime} = OC^{ \prime \prime} = OC =R$, где $R$ не зависит от положения груза. Легко вычислить $R$: для этого сместим груз до конца, к любой из сторон угла $\alpha$. Тогда $R = \frac{l/2}{ \sin \alpha}$. Движение грузика полностью эквивалентно движению маятника длиной $R$, так что период колебаний $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{R}{g}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{2g \sin \alpha } }$.
На угол величиной $\alpha$, согнутый из тонкого гладкого стержня, надета легкая петля длиной $l$ с прикрепленным к ней небольшим грузом: угол установлен вертикально. Найдите расстояние от груза до вершины угла в положении равновесия и период малых колебаний груза в плоскости угла.
Решение:
Во-первых заметим, что веревка, перекинутая через гладкий стержень, образует с ним равные углы независимо от положения груза (рис.). Это ясно уже из того, что сумма $\vec{T}$ сил натяжения веревки по обе стороны стержня должна быть перпендикулярна стержню, иначе из-за отсутствия силы трения нечем будет компенсировать тангенциальную составляющую $\vec{T}^{ \prime}$. Во-вторых, совершим следующую операцию отразим зеркально грузик, отклонившийся от положения равновесия в плоскости угла и в точку С (рис.), относительно каждой из сторон угла. Тогда, в силу равенства вышеупомянутых углов, прямая, соединившая точки $C^{ \prime}$ и $C^{ \prime \prime}$, будет проходить вдоль отрезка $AB$. При этом, естественно, $OC = OC^{ \prime} = OC^{ \prime \prime}$ так как $OC^{ \prime}$ и $OC^{ \prime \prime}$ - отражения отрезка $OC$. Следовательно, построенный нами треугольник $C^{ \prime}OC^{ \prime \prime}$ - равнобедренный, т. е. $\angle OC^{ \prime \prime}C^{ \prime} = = \angle OC^{ \prime}C^{ \prime \prime}$, a $\angle C^{ \prime}OC^{ \prime \prime}$, как это легко видеть, равен $2 \alpha$. Отсюда ясно, что при колебаниях груза треугольник $C^{ \prime}OC^{ \prime \prime}$ в плоскости угла $\alpha$ меняет только свое положение, но сохраняет форму. Это значит, что $OC^{ \prime} = OC^{ \prime \prime} = OC =R$, где $R$ не зависит от положения груза. Легко вычислить $R$: для этого сместим груз до конца, к любой из сторон угла $\alpha$. Тогда $R = \frac{l/2}{ \sin \alpha}$. Движение грузика полностью эквивалентно движению маятника длиной $R$, так что период колебаний $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{R}{g}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{2g \sin \alpha } }$.
