Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12479
2020-01-08 
Нить прикреплена к ободу тяжелого обруча и намотана на него. Если другой конец нити прикрепить к потолку и отпустить обруч, то он, вращаясь и разматывая нить, будет двигаться вниз. Пусть три таких обруча соединены "последовательно", т. е. конец нити следующего обруча прикреплен к оси предыдущего (рис.). Все обручи одновременно отпустили, и они пришли в движение. Определить, с каким ускорением движется верхний обруч.
С каким ускорением будет двигаться верхний обруч, если число последовательно соединенных обручей очень велико?
Считать, что масса обруча равномерно распределена по его ободу, спицы невесомы, нити невесомы и нерастяжимы, трение отсутствует.
Решение:
Пусть система содержит $N$ последовательно соединенных обручей, как это показано на рисунке. Пронумеруем их сверху вниз. На обруч под номером $k$ вверх действует сила натяжения $k$-й нити, а вниз - сила тяжести и сила натяжения $(k + 1)$-й нити. Запишем для $k$-го обруча уравнение движения:
$mg + T_{k+1} - T_{k} = ma_{k}$, (1)
где $a_{k}$ - проекция ускорения центра масс обруча на направление движения, $m$ - масса обруча, $T_{k}$ и $T_{k+1}$ - силы натяжения нитей.
Аналогичное уравнение можно записать для любого обруча. При этом $T_{N + 1} = 0$, так как нити $(N + 1)$ просто нет. Таким образом, уравнения (1), записанные для $l = 1 - N$, представляют собой систему $N$ уравнений с $2N$ неизвестными $a_{k}$ и $T_{k}$.
Еще $N$ уравнений можно получить, воспользовавшись законом сохранения энергии.
За время $t$ после начала движения $k$-й обруч, двигаясь с ускорением $a_{k}$, опустился на расстояние $s_{k}$, приобретя скорость поступательного движения $v_{k}$ и угловую скорость вращения вокруг оси обруча $\omega_{k}$. Эти величины связаны соотношениями
$s_{k} = \frac{a_{k}t^{2}}{2}, v_{k} = a_{k}t, \omega_{k} R = v_{k} - v_{k - 1}$, (2)
где $R$ - радиус обруча. Вычислим кинетическую энергию обруча, которую он приобрел к моменту времени $t$. Для этого выберем два маленьких кусочка обруча одинаковой массы $\Delta m$, расположенных на одном диаметре (рис.). Скорость каждого из кусочков складывается из скорости $\bar{v}_{k}$ его поступательного движения и линейной скорости вращательного движения вокруг центра обруча ($\bar{u}$ и $- \bar{u}$, $u = \omega_{k}R$). Суммарная кинетическая энергия этих кусочков равна
$\Delta m \frac{ ( \bar{v}_{k} + \bar{u})^{2}}{2} + \Delta m \frac{( \bar{v}_{k} - \bar{u} )^{2} }{2} = 2 \left ( \frac{ \Delta m v_{k}^{2} }{2} + \frac{ \Delta m u^{2} }{2} \right )$.
Кинетическая энергия всего обруча равна сумме энергий всех таких пар, т. е. равна
$\frac{mv_{k}^{2} }{2} + \frac{m( \omega_{k}R )^{2} }{2}$.
Эта энергия равна работе всех сил, действующих на обруч. Работа сил $mg$ и $T_{k + 1}$ положительна и равна $(mg + T_{k + 1})s_{k}$. Работа силы $T_{k}$ отрицательна и равна $( - T_{k}) s_{k-1}$ (так как точка приложения силы переместилась вниз на расстояние $s_{k-1}$). Поэтому
$\frac{mv_{k}^{2} }{2} + \frac{m( \omega_{k}R )^{2} }{2} = (mg + T_{k-1} )s_{k} - T_{k} s_{k-1}$.
Из этого уравнения с учетом (1) и (2) после преобразований получим:
$T_{k} = m ( a_{k} - a_{k-1} ), k = 1-N$. (3)
Уравнение (3), выражающее силу натяжения нити через ускорения, справедливо для любой нити, и следовательно, (3), как и (1), представляет собой систему $N$ уравнений с $2N$ неизвестными. Подставив из этой системы выражения для сил натяжения в систему уравнений (1), окончательно получим:
$-a_{k-1} + 3a_{k} - a_{k+1} = g, k = 1-N$. (4)
В этой системе уравнений следует считать $a_{а} = 0$, так как это ускорение точки подвеса первого обруча, $a_{N + 1} = a_{N}$, так как $T_{N + 1} = 0$ ($(N + 1)$-й нити нет).
Запишем теперь в развернутом виде систему уравнений (4) для трех обручей ($N = 3$):
$\begin{cases} 3a_{1} - a_{2} = g, \\ - a_{1} + 3a_{2} - a_{3} = g, \\ - a_{2} + 2a_{3} = g. \end{cases}$
Решая эту систему, получим
$a_{1} = \frac{8}{13}g; a_{2} = \frac{11}{13}g; a_{3} = \frac{12}{13}g$.
Заметим, что система (4) может быть решена при любом конечном значении $N$. Ясно, что при увеличении $N$ "трудность" вычислений нарастает. Как же быть, если $N \rightarrow \infty$? Вот тут мы проведем рассуждения, которые справедливы именно для случая $N \rightarrow \infty$.
Предположим, что ускорение первого обруча равно
$a_{1} = \xi g$, (5)
где $\xi$ - некоторое число, которое нам и нужно определить. Перейдем теперь в систему отсчета, движущуюся с ускорением $a_{1}$. В этой системе описание движения всех обручей, начиная со второго, - задача, аналогичная нашей исходной, с той лишь разницей, что движение происходит в поле тяготения с
$g^{ \prime} = g - a_{1} =g (1 - \xi )$
и общее число обручей уменьшилось на единицу. Так как обручей по-прежнему очень много, естественно считать ускорение верхнего (второго) обруча равным
$a_{1}^{ \prime} = \xi g^{ \prime}$.
Следовательно, в неподвижной системе отсчета ускорение второго обруча равно
$a_{2} = a_{1}^{ \prime} + a_{1} = \xi g^{ \prime} + \xi g = \xi (g^{ \prime} + g ) = \xi (g(1 - x) + g ) = g(2 - \xi)$. (6)
Подставив выражения (5) и (6) для $a_{1}$ и $a_{2}$ в первое уравнение системы (4), найдем $\xi$:
$\xi^{2} + \xi - 1 = 0 \Rightarrow \xi = \frac{ \sqrt{5} - 1 }{2}$.
Таким образом, ускорение первого обруча при достаточно большом $N$ равно
$a_{1} = \frac{ \sqrt{5} - 1 }{2} g$. (7)
Заметим, что уже при $N = 3$ выражение (7) справедливо с точностью 0,5%, а для $N = 10$ - с точностью $10^{-6}$ %.
Нить прикреплена к ободу тяжелого обруча и намотана на него. Если другой конец нити прикрепить к потолку и отпустить обруч, то он, вращаясь и разматывая нить, будет двигаться вниз. Пусть три таких обруча соединены "последовательно", т. е. конец нити следующего обруча прикреплен к оси предыдущего (рис.). Все обручи одновременно отпустили, и они пришли в движение. Определить, с каким ускорением движется верхний обруч.
С каким ускорением будет двигаться верхний обруч, если число последовательно соединенных обручей очень велико?
Считать, что масса обруча равномерно распределена по его ободу, спицы невесомы, нити невесомы и нерастяжимы, трение отсутствует.
Решение:
Пусть система содержит $N$ последовательно соединенных обручей, как это показано на рисунке. Пронумеруем их сверху вниз. На обруч под номером $k$ вверх действует сила натяжения $k$-й нити, а вниз - сила тяжести и сила натяжения $(k + 1)$-й нити. Запишем для $k$-го обруча уравнение движения:
$mg + T_{k+1} - T_{k} = ma_{k}$, (1)
где $a_{k}$ - проекция ускорения центра масс обруча на направление движения, $m$ - масса обруча, $T_{k}$ и $T_{k+1}$ - силы натяжения нитей.
Аналогичное уравнение можно записать для любого обруча. При этом $T_{N + 1} = 0$, так как нити $(N + 1)$ просто нет. Таким образом, уравнения (1), записанные для $l = 1 - N$, представляют собой систему $N$ уравнений с $2N$ неизвестными $a_{k}$ и $T_{k}$.
Еще $N$ уравнений можно получить, воспользовавшись законом сохранения энергии.
За время $t$ после начала движения $k$-й обруч, двигаясь с ускорением $a_{k}$, опустился на расстояние $s_{k}$, приобретя скорость поступательного движения $v_{k}$ и угловую скорость вращения вокруг оси обруча $\omega_{k}$. Эти величины связаны соотношениями
$s_{k} = \frac{a_{k}t^{2}}{2}, v_{k} = a_{k}t, \omega_{k} R = v_{k} - v_{k - 1}$, (2)
где $R$ - радиус обруча. Вычислим кинетическую энергию обруча, которую он приобрел к моменту времени $t$. Для этого выберем два маленьких кусочка обруча одинаковой массы $\Delta m$, расположенных на одном диаметре (рис.). Скорость каждого из кусочков складывается из скорости $\bar{v}_{k}$ его поступательного движения и линейной скорости вращательного движения вокруг центра обруча ($\bar{u}$ и $- \bar{u}$, $u = \omega_{k}R$). Суммарная кинетическая энергия этих кусочков равна
$\Delta m \frac{ ( \bar{v}_{k} + \bar{u})^{2}}{2} + \Delta m \frac{( \bar{v}_{k} - \bar{u} )^{2} }{2} = 2 \left ( \frac{ \Delta m v_{k}^{2} }{2} + \frac{ \Delta m u^{2} }{2} \right )$.
Кинетическая энергия всего обруча равна сумме энергий всех таких пар, т. е. равна
$\frac{mv_{k}^{2} }{2} + \frac{m( \omega_{k}R )^{2} }{2}$.
Эта энергия равна работе всех сил, действующих на обруч. Работа сил $mg$ и $T_{k + 1}$ положительна и равна $(mg + T_{k + 1})s_{k}$. Работа силы $T_{k}$ отрицательна и равна $( - T_{k}) s_{k-1}$ (так как точка приложения силы переместилась вниз на расстояние $s_{k-1}$). Поэтому
$\frac{mv_{k}^{2} }{2} + \frac{m( \omega_{k}R )^{2} }{2} = (mg + T_{k-1} )s_{k} - T_{k} s_{k-1}$.
Из этого уравнения с учетом (1) и (2) после преобразований получим:
$T_{k} = m ( a_{k} - a_{k-1} ), k = 1-N$. (3)
Уравнение (3), выражающее силу натяжения нити через ускорения, справедливо для любой нити, и следовательно, (3), как и (1), представляет собой систему $N$ уравнений с $2N$ неизвестными. Подставив из этой системы выражения для сил натяжения в систему уравнений (1), окончательно получим:
$-a_{k-1} + 3a_{k} - a_{k+1} = g, k = 1-N$. (4)
В этой системе уравнений следует считать $a_{а} = 0$, так как это ускорение точки подвеса первого обруча, $a_{N + 1} = a_{N}$, так как $T_{N + 1} = 0$ ($(N + 1)$-й нити нет).
Запишем теперь в развернутом виде систему уравнений (4) для трех обручей ($N = 3$):
$\begin{cases} 3a_{1} - a_{2} = g, \\ - a_{1} + 3a_{2} - a_{3} = g, \\ - a_{2} + 2a_{3} = g. \end{cases}$
Решая эту систему, получим
$a_{1} = \frac{8}{13}g; a_{2} = \frac{11}{13}g; a_{3} = \frac{12}{13}g$.
Заметим, что система (4) может быть решена при любом конечном значении $N$. Ясно, что при увеличении $N$ "трудность" вычислений нарастает. Как же быть, если $N \rightarrow \infty$? Вот тут мы проведем рассуждения, которые справедливы именно для случая $N \rightarrow \infty$.
Предположим, что ускорение первого обруча равно
$a_{1} = \xi g$, (5)
где $\xi$ - некоторое число, которое нам и нужно определить. Перейдем теперь в систему отсчета, движущуюся с ускорением $a_{1}$. В этой системе описание движения всех обручей, начиная со второго, - задача, аналогичная нашей исходной, с той лишь разницей, что движение происходит в поле тяготения с
$g^{ \prime} = g - a_{1} =g (1 - \xi )$
и общее число обручей уменьшилось на единицу. Так как обручей по-прежнему очень много, естественно считать ускорение верхнего (второго) обруча равным
$a_{1}^{ \prime} = \xi g^{ \prime}$.
Следовательно, в неподвижной системе отсчета ускорение второго обруча равно
$a_{2} = a_{1}^{ \prime} + a_{1} = \xi g^{ \prime} + \xi g = \xi (g^{ \prime} + g ) = \xi (g(1 - x) + g ) = g(2 - \xi)$. (6)
Подставив выражения (5) и (6) для $a_{1}$ и $a_{2}$ в первое уравнение системы (4), найдем $\xi$:
$\xi^{2} + \xi - 1 = 0 \Rightarrow \xi = \frac{ \sqrt{5} - 1 }{2}$.
Таким образом, ускорение первого обруча при достаточно большом $N$ равно
$a_{1} = \frac{ \sqrt{5} - 1 }{2} g$. (7)
Заметим, что уже при $N = 3$ выражение (7) справедливо с точностью 0,5%, а для $N = 10$ - с точностью $10^{-6}$ %.
