Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12478
2020-01-08 
Пешеходу необходимо в кратчайшее время попасть из точки поля А в точку поля В, расстояние между которыми 1300 м. Поле пересекает прямолинейная дорога так, что точка А находится от нее на расстоянии 600 м, а точка В - на расстоянии 100 м. Скорость перемещения пешехода по полю равна 3 км/ч, а по дороге - 6 км/ч. Какой путь должен избрать пешеход? Чему равно минимальное время? Рассмотреть случаи, когда точки А и В лежат по одну сторону от дороги и когда они лежат по разные стороны от дороги.
Решение:
Для решения задачи построим фронт области достижимости - границу той области, в любой точке которой можно оказаться за данный промежуток времени.
Будем строить эту границу для того момента времени, когда она проходит через точку В (рассмотрим случай, когда точки А и В лежат по разные стороны от дороги). Для этого случая проведем через точку В (см. рисунок) прямую, образующую с дорогой угол $\phi$ такой, что $\sin \phi = v/u$, где $v$ - скорость движения по полю, $u$ - скорость движения по дороге. Из данных задачи следует, что $\sin \phi = 1/2, \phi = \pi /6$. Пусть эта прямая пересекает дорогу в точке D. Из точки А проведем окружность, касающуюся прямой ВО. Из данных задачи следует, что точка В лежит между точкой касания С и точкой D.
Итак, в момент прохождения фронтом точки В интересующий нас участок фронта представляет собой часть окружности радиусом АС и отрезок касательной CD. (Весь фронт симметричен относительно перпендикуляра к дороге, проходящего через точку A; левая верхняя его часть - прямолинейный участок от точки D до пересечения с окружностью радиусом AC, составляющий угол $\phi = \frac{ \pi}{6}$ с дорогой, и часть окружности радиусом AC.). Теперь легко понять, что оптимальной траекторией из A в В будет ломаная AFGB, причем $\hat{CFD} = \hat{BGD} = \pi /2 - \phi = \pi /3$.
Аналогично, если точки A и B ($B^{ \prime}$) лежат по одну сторону от дороги, то оптимальной траекторией будет ломаная $AFKB^{ \prime}$, причем $\hat{B^{ \prime}KD } = \pi / 2 - \phi = \pi /3$. Отметим, что при другом взаимном расположении точек А, В и дороги (при других расстояниях) оптимальная траектория может представлять собой отрезок прямой без участков дороги (в этом случае точка В лежит на участке фронта, являющемся частью окружности радиусом АС).
Теперь найдем минимальное время движения из точки А в точку В. Если точки лежат по разные стороны от дороги -
$t_{min} = \frac{AF}{v} + \frac{FG}{u} + \frac{GB}{v} \approx 23,5 мин$.
Если точки А и В ($B^{ \prime}$) лежат по одну сторону от дороги -
$t_{min} = \frac{AF}{v} + \frac{FK}{u} + \frac{KB^{ \prime} }{v} \approx 24,6 мин$.
Пешеходу необходимо в кратчайшее время попасть из точки поля А в точку поля В, расстояние между которыми 1300 м. Поле пересекает прямолинейная дорога так, что точка А находится от нее на расстоянии 600 м, а точка В - на расстоянии 100 м. Скорость перемещения пешехода по полю равна 3 км/ч, а по дороге - 6 км/ч. Какой путь должен избрать пешеход? Чему равно минимальное время? Рассмотреть случаи, когда точки А и В лежат по одну сторону от дороги и когда они лежат по разные стороны от дороги.
Решение:
Для решения задачи построим фронт области достижимости - границу той области, в любой точке которой можно оказаться за данный промежуток времени.
Будем строить эту границу для того момента времени, когда она проходит через точку В (рассмотрим случай, когда точки А и В лежат по разные стороны от дороги). Для этого случая проведем через точку В (см. рисунок) прямую, образующую с дорогой угол $\phi$ такой, что $\sin \phi = v/u$, где $v$ - скорость движения по полю, $u$ - скорость движения по дороге. Из данных задачи следует, что $\sin \phi = 1/2, \phi = \pi /6$. Пусть эта прямая пересекает дорогу в точке D. Из точки А проведем окружность, касающуюся прямой ВО. Из данных задачи следует, что точка В лежит между точкой касания С и точкой D.
Итак, в момент прохождения фронтом точки В интересующий нас участок фронта представляет собой часть окружности радиусом АС и отрезок касательной CD. (Весь фронт симметричен относительно перпендикуляра к дороге, проходящего через точку A; левая верхняя его часть - прямолинейный участок от точки D до пересечения с окружностью радиусом AC, составляющий угол $\phi = \frac{ \pi}{6}$ с дорогой, и часть окружности радиусом AC.). Теперь легко понять, что оптимальной траекторией из A в В будет ломаная AFGB, причем $\hat{CFD} = \hat{BGD} = \pi /2 - \phi = \pi /3$.
Аналогично, если точки A и B ($B^{ \prime}$) лежат по одну сторону от дороги, то оптимальной траекторией будет ломаная $AFKB^{ \prime}$, причем $\hat{B^{ \prime}KD } = \pi / 2 - \phi = \pi /3$. Отметим, что при другом взаимном расположении точек А, В и дороги (при других расстояниях) оптимальная траектория может представлять собой отрезок прямой без участков дороги (в этом случае точка В лежит на участке фронта, являющемся частью окружности радиусом АС).
Теперь найдем минимальное время движения из точки А в точку В. Если точки лежат по разные стороны от дороги -
$t_{min} = \frac{AF}{v} + \frac{FG}{u} + \frac{GB}{v} \approx 23,5 мин$.
Если точки А и В ($B^{ \prime}$) лежат по одну сторону от дороги -
$t_{min} = \frac{AF}{v} + \frac{FK}{u} + \frac{KB^{ \prime} }{v} \approx 24,6 мин$.
