Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12476
2020-01-08 
В некоторой точке пространства необходимо создать максимально возможную напряженность гравитационного поля (ускорение свободного падения), имея в распоряжении заданную массу вещества неизменной плотности.
а) Какую форму необходимо придать телу из этого вещества?
б) Каково должно быть взаимное расположение тела и точки?
Решение:
Пусть однородное тело массой $M$ создает гравитационное поле, вектор напряженности которого в некоторой точке О равен $g$ и направлен вдоль оси ОХ, как это показано на рисунке. Согласно принципу суперпозиции полей вектор $\vec{g}$ является суммой векторов $\Delta \vec{g}_{i}$, напряженностей полей, созданных в точке О всеми бесконечно малыми элементами $\Delta m_{i}$ тела $M$. Вклад каждого элемента в общее поле $\vec{g}$ равен проекции вектора $\Delta \vec{g}_{i}$ на ось ОХ, т. е. равен
$\Delta g_{ix} = \frac{G \cdot \Delta m_{i} }{r_{i}^{2} } \cos \theta_{i}$.
где $r_{i}$ - расстояние от точки О до элемента $\Delta m_{i}, \theta_{i}$ - угол между направлением на элемент и осью ОХ. Следовательно (если все элементы $\Delta m_{i}$ одинаковы)
$g = | \vec{g} | = \sum_{i} \Delta g_{ix} = G \Delta m \sum \frac{ \cos \theta_{i} }{r_{i}^{2} }$.
Таким образом, при данной массе тела $M$ значение $g$ будет максимальным, если форма тела и его ориентация относительно точки О будут такими, что величина $\sum \frac{ \cos \theta_{i} }{ r_{i}^{2}}$ будет максимальном.
Рассмотрим тело массой $M$, ограниченное проходящей через точку О поверхностью, для всех точек которой (кроме точки О) отношение $\frac{ \cos \theta_{i} }{r_{i}^{2} }$ одно и то же, т. е.
$\frac{ \cos \theta_{i}}{r^{2} } = const$.
Такую поверхность назовем поверхностью равного вклада. Тело, ограниченное поверхностью равного вклада, является телом вращения (вокруг оси ОХ; см. рис.). Покажем, что именно такое тело создает гравитационное поле, напряженность которого $g_{0}$ максимальна в точке О.
Элементы $\Delta m$, находящиеся на поверхности равного вклада, по определению вносят одинаковые вклады $\Delta g_{0x}$ в $g_{0}$. Вклад любого внутреннего элемента $\Delta g_{внутр}$ больше $\Delta g_{0x}$; если бы элемент $\Delta m$ оказался за поверхностью тела, то его вклад $\Delta g_{внеш}$ в величину $g_{0}$ был бы меньше $\Delta g_{0x}$. Таким образом,
$\Delta g_{внутр} > \Delta g_{0x} > \Delta g_{внеш}$. (*)
Любая деформация тела $M$ (без изменения его плотности), не приводящая к изменению направления вектора напряженности в точке О, сводится к переносу массы из внутренних областей во внешние области, за пределы поверхности равного вклада Как видно из соотношения (*), это приводит к уменьшению напряженности поля в точке О.
Следовательно, напряженность гравитационного поля, создаваемого в точке О телом данной массы, максимальна, если это тело - тело вращения, ограниченное поверхностью равного вклада, и точка О лежит на поверхности на оси вращения.
Заметим, что отличие формы этого тела от шарообразной существенно. На рисунке представлены сечения такого тела и шара такой же массы. Видно, как нужно деформировать шар, чтобы получить в одной точке (в данном случае в точке О) максимально возможное поле. Оказывается, что после такой деформации шара напряженность поля в точке О возрастет в $\sqrt[3]{ \frac{27}{25}}$ раза, т. е. примерно на 3%.
В некоторой точке пространства необходимо создать максимально возможную напряженность гравитационного поля (ускорение свободного падения), имея в распоряжении заданную массу вещества неизменной плотности.
а) Какую форму необходимо придать телу из этого вещества?
б) Каково должно быть взаимное расположение тела и точки?
Решение:
Пусть однородное тело массой $M$ создает гравитационное поле, вектор напряженности которого в некоторой точке О равен $g$ и направлен вдоль оси ОХ, как это показано на рисунке. Согласно принципу суперпозиции полей вектор $\vec{g}$ является суммой векторов $\Delta \vec{g}_{i}$, напряженностей полей, созданных в точке О всеми бесконечно малыми элементами $\Delta m_{i}$ тела $M$. Вклад каждого элемента в общее поле $\vec{g}$ равен проекции вектора $\Delta \vec{g}_{i}$ на ось ОХ, т. е. равен
$\Delta g_{ix} = \frac{G \cdot \Delta m_{i} }{r_{i}^{2} } \cos \theta_{i}$.
где $r_{i}$ - расстояние от точки О до элемента $\Delta m_{i}, \theta_{i}$ - угол между направлением на элемент и осью ОХ. Следовательно (если все элементы $\Delta m_{i}$ одинаковы)
$g = | \vec{g} | = \sum_{i} \Delta g_{ix} = G \Delta m \sum \frac{ \cos \theta_{i} }{r_{i}^{2} }$.
Таким образом, при данной массе тела $M$ значение $g$ будет максимальным, если форма тела и его ориентация относительно точки О будут такими, что величина $\sum \frac{ \cos \theta_{i} }{ r_{i}^{2}}$ будет максимальном.
Рассмотрим тело массой $M$, ограниченное проходящей через точку О поверхностью, для всех точек которой (кроме точки О) отношение $\frac{ \cos \theta_{i} }{r_{i}^{2} }$ одно и то же, т. е.
$\frac{ \cos \theta_{i}}{r^{2} } = const$.
Такую поверхность назовем поверхностью равного вклада. Тело, ограниченное поверхностью равного вклада, является телом вращения (вокруг оси ОХ; см. рис.). Покажем, что именно такое тело создает гравитационное поле, напряженность которого $g_{0}$ максимальна в точке О.
Элементы $\Delta m$, находящиеся на поверхности равного вклада, по определению вносят одинаковые вклады $\Delta g_{0x}$ в $g_{0}$. Вклад любого внутреннего элемента $\Delta g_{внутр}$ больше $\Delta g_{0x}$; если бы элемент $\Delta m$ оказался за поверхностью тела, то его вклад $\Delta g_{внеш}$ в величину $g_{0}$ был бы меньше $\Delta g_{0x}$. Таким образом,
$\Delta g_{внутр} > \Delta g_{0x} > \Delta g_{внеш}$. (*)
Любая деформация тела $M$ (без изменения его плотности), не приводящая к изменению направления вектора напряженности в точке О, сводится к переносу массы из внутренних областей во внешние области, за пределы поверхности равного вклада Как видно из соотношения (*), это приводит к уменьшению напряженности поля в точке О.
Следовательно, напряженность гравитационного поля, создаваемого в точке О телом данной массы, максимальна, если это тело - тело вращения, ограниченное поверхностью равного вклада, и точка О лежит на поверхности на оси вращения.
Заметим, что отличие формы этого тела от шарообразной существенно. На рисунке представлены сечения такого тела и шара такой же массы. Видно, как нужно деформировать шар, чтобы получить в одной точке (в данном случае в точке О) максимально возможное поле. Оказывается, что после такой деформации шара напряженность поля в точке О возрастет в $\sqrt[3]{ \frac{27}{25}}$ раза, т. е. примерно на 3%.
