Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12475
2020-01-08 
Гантель, состоящая из двух шариков массой $m$ каждый, закрепленных на концах легкого стержня длиной $2b$, подвешена в горизонтальном положении на двух нерастяжимых нитях длиной $l$, расстояние между которыми $2a$ (рис.). Найти период малых крутильных колебаний гантели.
Решение:
При крутильных колебаниях гантель поворачивается вокруг вертикальной оси $OO_{1}$. Выясним, как зависит потенциальная и кинетическая энергия гантели от угла поворота $\phi$ (рис.).
Пусть при повороте на угол $\phi$ центр тяжести гантели поднимается на высоту $\Delta h$ (относительно положения равновесия). Как видно из рисунка, $\Delta h = l - h$, где
$h = \sqrt{ l^{2} - |BB_{1}|^{2}} \approx \sqrt{l^{2} - a^{2} \phi^{2} }$
(поскольку угол поворота $\phi$ мал, $| BB_{1} | \approx a \phi$). Отсюда получаем:
$l^{2} - h^{2} \approx a^{2} \phi^{2} \Leftrightarrow \Delta h (l + h) \approx a^{2} \phi^{2}$,
откуда
$\Delta h \approx \frac{a^{2} \phi^{2} }{l + h} \approx \frac{a^{2} \phi^{2} }{2l}$
(при малых $\phi$ $\Delta$ мало, и $l + h \approx 2l$).
Следовательно, потенциальная энергия гантели (измеряемая по отношению к положению равновесия) зависит от угла поворота как
$\Pi_{ \phi} = 2mg \cdot \Delta h = \frac{mga^{2} }{l} \phi^{2}$. (1)
Вычислим теперь кинетическую энергию При малых колебаниях можно пренебречь вертикальными составляющими скоростей шариков и считать, что векторы скоростей лежат в горизонтальной плоскости и равны по модулю $v = b \omega_{ \Psi} = b \phi^{ \prime}$ ($\omega_{ \Psi}$ - угловая скорость шариков в тот момент, когда угол поворота гантели равен $\phi$). Таким образом, кинетическая энергия зависит от угла поворота как
$K_{ \phi} = 2 \frac{mv^{2} }{2} = mb^{2} ( \phi^{ \prime} )^{2}$. (2)
Заметим, что формулы (1) и (2) аналогичны формулам, описывающим потенциальную и кинетическую энергию груза, колеблющегося на пружине жесткостью $k$:
$\Pi_{x} = \frac{1}{2} kx^{2}, K_{x} = \frac{1}{2} M(x^{ \prime} )^{2}$,
где $x$ - отклонение от положения равновесия. Пользуясь этой аналогией, можем записать:
$\Pi_{ \phi} = \frac{mga^{2} }{l} \phi^{2} = \frac{mga^{2} }{l} \left ( \frac{x}{b} \right )^{2} = \frac{1}{x}kx^{2}$,
где $x = b \phi$ - отклонение шарика от положения равновесия, а
$k = \frac{2mg}{l} \frac{a^{2} }{b^{2} }$;
соответственно,
$K = mb^{2} ( \phi^{ \prime} )^{2} = m(x^{ \prime} )^{2} = \frac{1}{2} M(x^{ \prime} )^{2}$,
где
$M = 2m$.
Таким образом, гантель будет совершать крутильные колебания с периодом
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{M}{k} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{2mlb^{2} }{2mga^{2} } } = 2 \pi \frac{b}{a} \sqrt{ \frac{l}{g} }$.
Гантель, состоящая из двух шариков массой $m$ каждый, закрепленных на концах легкого стержня длиной $2b$, подвешена в горизонтальном положении на двух нерастяжимых нитях длиной $l$, расстояние между которыми $2a$ (рис.). Найти период малых крутильных колебаний гантели.
Решение:
При крутильных колебаниях гантель поворачивается вокруг вертикальной оси $OO_{1}$. Выясним, как зависит потенциальная и кинетическая энергия гантели от угла поворота $\phi$ (рис.).
Пусть при повороте на угол $\phi$ центр тяжести гантели поднимается на высоту $\Delta h$ (относительно положения равновесия). Как видно из рисунка, $\Delta h = l - h$, где
$h = \sqrt{ l^{2} - |BB_{1}|^{2}} \approx \sqrt{l^{2} - a^{2} \phi^{2} }$
(поскольку угол поворота $\phi$ мал, $| BB_{1} | \approx a \phi$). Отсюда получаем:
$l^{2} - h^{2} \approx a^{2} \phi^{2} \Leftrightarrow \Delta h (l + h) \approx a^{2} \phi^{2}$,
откуда
$\Delta h \approx \frac{a^{2} \phi^{2} }{l + h} \approx \frac{a^{2} \phi^{2} }{2l}$
(при малых $\phi$ $\Delta$ мало, и $l + h \approx 2l$).
Следовательно, потенциальная энергия гантели (измеряемая по отношению к положению равновесия) зависит от угла поворота как
$\Pi_{ \phi} = 2mg \cdot \Delta h = \frac{mga^{2} }{l} \phi^{2}$. (1)
Вычислим теперь кинетическую энергию При малых колебаниях можно пренебречь вертикальными составляющими скоростей шариков и считать, что векторы скоростей лежат в горизонтальной плоскости и равны по модулю $v = b \omega_{ \Psi} = b \phi^{ \prime}$ ($\omega_{ \Psi}$ - угловая скорость шариков в тот момент, когда угол поворота гантели равен $\phi$). Таким образом, кинетическая энергия зависит от угла поворота как
$K_{ \phi} = 2 \frac{mv^{2} }{2} = mb^{2} ( \phi^{ \prime} )^{2}$. (2)
Заметим, что формулы (1) и (2) аналогичны формулам, описывающим потенциальную и кинетическую энергию груза, колеблющегося на пружине жесткостью $k$:
$\Pi_{x} = \frac{1}{2} kx^{2}, K_{x} = \frac{1}{2} M(x^{ \prime} )^{2}$,
где $x$ - отклонение от положения равновесия. Пользуясь этой аналогией, можем записать:
$\Pi_{ \phi} = \frac{mga^{2} }{l} \phi^{2} = \frac{mga^{2} }{l} \left ( \frac{x}{b} \right )^{2} = \frac{1}{x}kx^{2}$,
где $x = b \phi$ - отклонение шарика от положения равновесия, а
$k = \frac{2mg}{l} \frac{a^{2} }{b^{2} }$;
соответственно,
$K = mb^{2} ( \phi^{ \prime} )^{2} = m(x^{ \prime} )^{2} = \frac{1}{2} M(x^{ \prime} )^{2}$,
где
$M = 2m$.
Таким образом, гантель будет совершать крутильные колебания с периодом
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{M}{k} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{2mlb^{2} }{2mga^{2} } } = 2 \pi \frac{b}{a} \sqrt{ \frac{l}{g} }$.
