Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12470
2020-01-08 
Небольшая частица массой $m$, несущая положительный заряд $q$, с очень большого расстояния приближается к конденсатору по направлению, перпендикулярному его пластинам, и пролетает сквозь конденсатор через небольшие отверстия в серединах пластин. Считая, что на большом расстоянии от конденсатора скорость частицы равна $v$, найти ее скорость: 1) в точке А внутри конденсатора (см. рисунок): 2) в точке В сразу после вылета из конденсатора. Конденсатор заряжен до разности потенциалов $U$, расстояние между его пластинами много меньше размеров пластин; заряд конденсатора много больше $q$.
Решение:
Если конденсатор отключен от источника тока, то система "частица+конденсатор" является замкнутой и ее полная энергия сохраняется. Внешнее электрическое поле конденсатора совершает работу над частицей, и эта работа идет на увеличение ее кинетической энергии: $\Delta K = A$. Следовательно
$\Delta K_{A} = K_{A} - \frac{mv^{2} }{2} = A_{A}, \Delta K_{B} = K_{B} - \frac{mv^{2} }{2} = A_{B}$,
где $A_{A}$ и $A_{B}$ - работа электрического поля по перемещению частицы из бесконечности в точки А и В соответственно, $K_{A}$ и $K_{B}$ - кинетическая энергия частицы в этих точках. По определению потенциала мы можем записать:
$A_{A} = q( \phi_{ \infty } - \phi_{A} ), A_{B} = q( \phi_{ \infty} - \phi_{B} )$.
Потенциал $\phi_{ \infty}$ на большом удалении от конденсатора, как это обычно делается, положим равным нулю. Найдем потенциалы $\phi_{A}$ и $\phi_{B}$.
Так как заряд частицы $q$ много меньше заряда конденсатора, можно считать, что частица практически не меняет поле внутри конденсатора. Поле внутри конденсатора однородно и его напряженность $E = \frac{U}{d}$, где $d$ - расстояние между пластинами. Так как отрицательно и положительно заряженные пластины равноудалены от средней линии $OO^{ \prime}$ внутри конденсатора, потенциал на этой линии будет равен нулю. Поскольку поле однородно, для точек А, В и С можем записать:
$\phi_{A} - \phi_{C} = - E \frac{d}{2}, \phi_{B} - \phi_{C} = E \frac{d}{2}$.
Но $\phi_{C} = 0$, и следовательно,
$\phi_{A} = - \frac{Ed}{2} = - \frac{U}{2}, \phi_{B} = \frac{U}{2}$.
Отсюда находим $A_{A}$ и $A_{B}$:
$A_{A} = - q \phi_{A} = \frac{qU}{2}, A_{B} = - q \phi_{B} = - \frac{qU}{2}$.
Таким образом,
$\Delta K_{A} = \frac{mv_{A}^{2} }{2} - \frac{mv^{2} }{2} = \frac{qU}{2}$,
$\Delta K_{B} = \frac{mv_{B}^{2} }{2} - \frac{mv^{2} }{2} = - \frac{qU}{2}$,
Отсюда находим:
$v_{A} = \sqrt{v^{2} + \frac{qU}{m} }, v_{B} = \sqrt{v^{2} - \frac{qU}{m} }$.
Видно, что если $v^{2} < \frac{qU}{m}$, то частица вообще не пролетит через конденсатор.
Небольшая частица массой $m$, несущая положительный заряд $q$, с очень большого расстояния приближается к конденсатору по направлению, перпендикулярному его пластинам, и пролетает сквозь конденсатор через небольшие отверстия в серединах пластин. Считая, что на большом расстоянии от конденсатора скорость частицы равна $v$, найти ее скорость: 1) в точке А внутри конденсатора (см. рисунок): 2) в точке В сразу после вылета из конденсатора. Конденсатор заряжен до разности потенциалов $U$, расстояние между его пластинами много меньше размеров пластин; заряд конденсатора много больше $q$.
Решение:
Если конденсатор отключен от источника тока, то система "частица+конденсатор" является замкнутой и ее полная энергия сохраняется. Внешнее электрическое поле конденсатора совершает работу над частицей, и эта работа идет на увеличение ее кинетической энергии: $\Delta K = A$. Следовательно
$\Delta K_{A} = K_{A} - \frac{mv^{2} }{2} = A_{A}, \Delta K_{B} = K_{B} - \frac{mv^{2} }{2} = A_{B}$,
где $A_{A}$ и $A_{B}$ - работа электрического поля по перемещению частицы из бесконечности в точки А и В соответственно, $K_{A}$ и $K_{B}$ - кинетическая энергия частицы в этих точках. По определению потенциала мы можем записать:
$A_{A} = q( \phi_{ \infty } - \phi_{A} ), A_{B} = q( \phi_{ \infty} - \phi_{B} )$.
Потенциал $\phi_{ \infty}$ на большом удалении от конденсатора, как это обычно делается, положим равным нулю. Найдем потенциалы $\phi_{A}$ и $\phi_{B}$.
Так как заряд частицы $q$ много меньше заряда конденсатора, можно считать, что частица практически не меняет поле внутри конденсатора. Поле внутри конденсатора однородно и его напряженность $E = \frac{U}{d}$, где $d$ - расстояние между пластинами. Так как отрицательно и положительно заряженные пластины равноудалены от средней линии $OO^{ \prime}$ внутри конденсатора, потенциал на этой линии будет равен нулю. Поскольку поле однородно, для точек А, В и С можем записать:
$\phi_{A} - \phi_{C} = - E \frac{d}{2}, \phi_{B} - \phi_{C} = E \frac{d}{2}$.
Но $\phi_{C} = 0$, и следовательно,
$\phi_{A} = - \frac{Ed}{2} = - \frac{U}{2}, \phi_{B} = \frac{U}{2}$.
Отсюда находим $A_{A}$ и $A_{B}$:
$A_{A} = - q \phi_{A} = \frac{qU}{2}, A_{B} = - q \phi_{B} = - \frac{qU}{2}$.
Таким образом,
$\Delta K_{A} = \frac{mv_{A}^{2} }{2} - \frac{mv^{2} }{2} = \frac{qU}{2}$,
$\Delta K_{B} = \frac{mv_{B}^{2} }{2} - \frac{mv^{2} }{2} = - \frac{qU}{2}$,
Отсюда находим:
$v_{A} = \sqrt{v^{2} + \frac{qU}{m} }, v_{B} = \sqrt{v^{2} - \frac{qU}{m} }$.
Видно, что если $v^{2} < \frac{qU}{m}$, то частица вообще не пролетит через конденсатор.
