Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1247
2016-10-20 
Одна из пластин плоского конденсатора в форме квадрата со стороной $a$ закреплена горизонтально, на неё помещена большая тонкая пластина из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$. По гладкой верхней поверхности листа диэлектрика может свободно скользить вторая пластина конденсатора массой $m$, имеющая такие же размеры и форму, как и первая. На обкладки конденсатора помещены заряды $+Q$ и $-Q$, и система приведена в равновесие. Верхнюю пластину сдвигают по горизонтали на расстояние $x \ll a$ параллельно одной из сторон квадрата и отпускают без начальной скорости. Найдите период колебаний этой пластины. Толщина диэлектрика $d$ существенно меньше смещения верхней пластины $x$. Электрическое сопротивление у пластин отсутствует.
Решение:
В процессе колебаний заряд пластин не изменяется, а эффективная площадь обкладок плоского конденсатора ёмкостью $C$ изменяется в пределах от $a^{2}$ до $a(a — x)$, поскольку заряд концентрируется только на частях пластин, находящихся напротив друг друга. Энергия конденсатора
$W = \frac{Q^{2}}{2C} = \frac{Q^{2}d}{2 \epsilon \epsilon_{0} a (a-x)}$
увеличивается с ростом $x$, поэтому возникает возвращающая сила, которую можно найти из энергетических соображений. Поскольку работа возвращающей силы может совершаться только за счёт уменьшения энергии конденсатора, то, приравняв эту работу для малого перемещения $\Delta x > 0$ изменению энергии конденсатора, взятому со знаком «минус» (это и означает «за счёт»), получаем:
$\Delta A = F \Delta x = - \Delta W = W_{1} - W_{2} = \frac{Q^{2}d}{2 \epsilon \epsilon_{0} a^{2}} \left ( \frac{1}{1 - \frac{x}{a}} - \frac{1}{1 - \frac{x+ \Delta x}{a}} \right ) \approx - \frac{Q^{2}d \Delta x}{2 \epsilon \epsilon_{0} a^{3} \left ( 1 - \frac{x}{a} \right )^{2}}$.
Здесь учтено, что $\Delta x \ll x$. Поскольку $x \ll a$, вторым слагаемым в скобках в знаменателе можно пренебречь, так что для силы находим:
$F \approx - \frac{Q^{2}d}{2 \epsilon \epsilon_{0} a^{3}}$.
Получилось, что возвращающая сила в первом приближении постоянна по модулю, не зависит от смещения $x$ и всегда направлена к положению равновесия! Таким образом, колебания пластины не будут гармоническими.
При переходе верхней пластины через положение равновесия возвращающая сила изменяет знак, сохраняя свою величину. На самом деле в данной системе при изменении знака $x$ сила не может изменяться скачком. Само возникновение возвращающей силы связано с краевыми эффектами в конденсаторе, так что изменение знака силы в действительности происходит в диапазоне смещений порядка расстояния между пластинами $d$, которое, согласно условию, значительно меньше начального смещения пластины $x$. Поэтому при дальнейшем расчёте движения верхней пластины можно считать, что оно происходит под действием постоянной по модулю силы. При этом отклонённая и отпущенная без начальной скорости пластина будет двигаться к положению равновесия с постоянным по величине ускорением
$\omega = \frac{|F|}{m} = \frac{Q^{2}d}{2 \epsilon \epsilon_{0} a^{3} m}$.
Положение равновесия будет достигнуто через время
$\tau = \sqrt{ \frac{2x}{ \omega}} = \sqrt{ \frac{4 \epsilon \epsilon_{0} a^{3} mx}{Q^{2}d}} = \frac{2a}{Q} \sqrt{ \frac{ \epsilon \epsilon_{0} amx}{d}}$.
Период колебаний, то есть время возврата пластины в исходное положение, очевидно, будет в четыре раза больше:
$T = 4 \tau = \frac{8a}{Q} \sqrt{ \frac{ \epsilon \epsilon_{0} am}{d} x}$.
Отметим, что у данной системы период колебаний зависит от их амплитуды.
Одна из пластин плоского конденсатора в форме квадрата со стороной $a$ закреплена горизонтально, на неё помещена большая тонкая пластина из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$. По гладкой верхней поверхности листа диэлектрика может свободно скользить вторая пластина конденсатора массой $m$, имеющая такие же размеры и форму, как и первая. На обкладки конденсатора помещены заряды $+Q$ и $-Q$, и система приведена в равновесие. Верхнюю пластину сдвигают по горизонтали на расстояние $x \ll a$ параллельно одной из сторон квадрата и отпускают без начальной скорости. Найдите период колебаний этой пластины. Толщина диэлектрика $d$ существенно меньше смещения верхней пластины $x$. Электрическое сопротивление у пластин отсутствует.
Решение:
В процессе колебаний заряд пластин не изменяется, а эффективная площадь обкладок плоского конденсатора ёмкостью $C$ изменяется в пределах от $a^{2}$ до $a(a — x)$, поскольку заряд концентрируется только на частях пластин, находящихся напротив друг друга. Энергия конденсатора
$W = \frac{Q^{2}}{2C} = \frac{Q^{2}d}{2 \epsilon \epsilon_{0} a (a-x)}$
увеличивается с ростом $x$, поэтому возникает возвращающая сила, которую можно найти из энергетических соображений. Поскольку работа возвращающей силы может совершаться только за счёт уменьшения энергии конденсатора, то, приравняв эту работу для малого перемещения $\Delta x > 0$ изменению энергии конденсатора, взятому со знаком «минус» (это и означает «за счёт»), получаем:
$\Delta A = F \Delta x = - \Delta W = W_{1} - W_{2} = \frac{Q^{2}d}{2 \epsilon \epsilon_{0} a^{2}} \left ( \frac{1}{1 - \frac{x}{a}} - \frac{1}{1 - \frac{x+ \Delta x}{a}} \right ) \approx - \frac{Q^{2}d \Delta x}{2 \epsilon \epsilon_{0} a^{3} \left ( 1 - \frac{x}{a} \right )^{2}}$.
Здесь учтено, что $\Delta x \ll x$. Поскольку $x \ll a$, вторым слагаемым в скобках в знаменателе можно пренебречь, так что для силы находим:
$F \approx - \frac{Q^{2}d}{2 \epsilon \epsilon_{0} a^{3}}$.
Получилось, что возвращающая сила в первом приближении постоянна по модулю, не зависит от смещения $x$ и всегда направлена к положению равновесия! Таким образом, колебания пластины не будут гармоническими.
При переходе верхней пластины через положение равновесия возвращающая сила изменяет знак, сохраняя свою величину. На самом деле в данной системе при изменении знака $x$ сила не может изменяться скачком. Само возникновение возвращающей силы связано с краевыми эффектами в конденсаторе, так что изменение знака силы в действительности происходит в диапазоне смещений порядка расстояния между пластинами $d$, которое, согласно условию, значительно меньше начального смещения пластины $x$. Поэтому при дальнейшем расчёте движения верхней пластины можно считать, что оно происходит под действием постоянной по модулю силы. При этом отклонённая и отпущенная без начальной скорости пластина будет двигаться к положению равновесия с постоянным по величине ускорением
$\omega = \frac{|F|}{m} = \frac{Q^{2}d}{2 \epsilon \epsilon_{0} a^{3} m}$.
Положение равновесия будет достигнуто через время
$\tau = \sqrt{ \frac{2x}{ \omega}} = \sqrt{ \frac{4 \epsilon \epsilon_{0} a^{3} mx}{Q^{2}d}} = \frac{2a}{Q} \sqrt{ \frac{ \epsilon \epsilon_{0} amx}{d}}$.
Период колебаний, то есть время возврата пластины в исходное положение, очевидно, будет в четыре раза больше:
$T = 4 \tau = \frac{8a}{Q} \sqrt{ \frac{ \epsilon \epsilon_{0} am}{d} x}$.
Отметим, что у данной системы период колебаний зависит от их амплитуды.
