Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12463
2020-01-08 
К телу массой $m = 20 г$, лежащему на гладком горизонтальном полу, привязаны две одинаковые упругие нити жесткостью $k = 10^{4} Н/м$. Одна нить прикреплена к стене, свободный конец второй нити начинают тянуть в горизонтальном направлении со скоростью $v = 10 м/с$. Какая нить порвется, если разрыв каждой нити происходит при абсолютном удлинении $\Delta l_{пр} = 5 см$? Считать, что закон Гука выполняется для нитей вплоть до их разрыва; трения нет.
Решение:
За процессом растяжения нитей удобно следить, перейдя из неподвижной системы (рис.) в систему координат, движущуюся вправо со скоростью $v/2$; начало отсчета в первый момент времени совпадает с телом (рис.).
Относительно этой системы координат концы нитей движутся в разные стороны со скоростями $v/2$; тело в первый момент времени находится в начале координат ($x = 0$) и движется влево со скоростью $v/2$.
Сила упругости, действующая на тело, не зависит от движения концов нитей, а зависит лишь от смещения тела $x$ от первоначального положения:
$F_{x} = -k( \Delta l + x) + k( \Delta l - x) = -2kx$,
где $\Delta l = \frac{v}{2} t$ - абсолютное значение смещений концов нити к тому моменту, когда смещение тела равно $x$. Следовательно, тело будет совершать гармонические колебания с частотой $\omega = \sqrt{ \frac{2k}{m}} = 10^{3} Гц$ около первоначального положения. Смещение тела меняется со временем по закону
$x = - \frac{v}{2 \omega } \sin \omega t$,
а удлинения нитей -
$\Delta l_{1} = \frac{v}{2}t - \frac{v}{2 \omega} \sin \omega t$,
$\Delta l_{2} = \frac{v}{2}t + \frac{v}{2 \omega} \sin \omega t$,
Отсюда видно, что в течение четных полупериодов колебаний -
$2n \frac{T}{2} < t < (2n + 1) \frac{T}{2}$ ($T = \frac{2 \pi}{ \omega}, n = 0, 1, 2, \cdots$)
- сильнее будет растянута первая нить, в течение нечетных полупериодов - вторая.
Таким образом, вторая нить порвется, если выполняется условие
$2n \frac{T}{2} \frac{v}{2} < \Delta l_{пр} < (2n + 1) \frac{T}{2} \frac{v}{2}$,
или
$\frac{1}{n + 1} < \frac{v}{v_{0} } < \frac{1}{2n}$, где $v_{0} = 2 \omega \frac{ \Delta l_{пр} }{ \pi}$.
Область скоростей (точнее, отношение $v/v_{0}$), при которых рвется вторая нить, на рисунке показана штриховкой. При больших скоростях, т. е. когда $v/v_{0} > 1$, всегда рвется та нить, за которую тянут; при меньших скоростях ответ неоднозначен.
Для приведенных в условиях данных $v/v_{0} = 0,314$. Следовательно, порвется нить, привязанная к стене.
К телу массой $m = 20 г$, лежащему на гладком горизонтальном полу, привязаны две одинаковые упругие нити жесткостью $k = 10^{4} Н/м$. Одна нить прикреплена к стене, свободный конец второй нити начинают тянуть в горизонтальном направлении со скоростью $v = 10 м/с$. Какая нить порвется, если разрыв каждой нити происходит при абсолютном удлинении $\Delta l_{пр} = 5 см$? Считать, что закон Гука выполняется для нитей вплоть до их разрыва; трения нет.
Решение:
За процессом растяжения нитей удобно следить, перейдя из неподвижной системы (рис.) в систему координат, движущуюся вправо со скоростью $v/2$; начало отсчета в первый момент времени совпадает с телом (рис.).
Относительно этой системы координат концы нитей движутся в разные стороны со скоростями $v/2$; тело в первый момент времени находится в начале координат ($x = 0$) и движется влево со скоростью $v/2$.
Сила упругости, действующая на тело, не зависит от движения концов нитей, а зависит лишь от смещения тела $x$ от первоначального положения:
$F_{x} = -k( \Delta l + x) + k( \Delta l - x) = -2kx$,
где $\Delta l = \frac{v}{2} t$ - абсолютное значение смещений концов нити к тому моменту, когда смещение тела равно $x$. Следовательно, тело будет совершать гармонические колебания с частотой $\omega = \sqrt{ \frac{2k}{m}} = 10^{3} Гц$ около первоначального положения. Смещение тела меняется со временем по закону
$x = - \frac{v}{2 \omega } \sin \omega t$,
а удлинения нитей -
$\Delta l_{1} = \frac{v}{2}t - \frac{v}{2 \omega} \sin \omega t$,
$\Delta l_{2} = \frac{v}{2}t + \frac{v}{2 \omega} \sin \omega t$,
Отсюда видно, что в течение четных полупериодов колебаний -
$2n \frac{T}{2} < t < (2n + 1) \frac{T}{2}$ ($T = \frac{2 \pi}{ \omega}, n = 0, 1, 2, \cdots$)
- сильнее будет растянута первая нить, в течение нечетных полупериодов - вторая.
Таким образом, вторая нить порвется, если выполняется условие
$2n \frac{T}{2} \frac{v}{2} < \Delta l_{пр} < (2n + 1) \frac{T}{2} \frac{v}{2}$,
или
$\frac{1}{n + 1} < \frac{v}{v_{0} } < \frac{1}{2n}$, где $v_{0} = 2 \omega \frac{ \Delta l_{пр} }{ \pi}$.
Область скоростей (точнее, отношение $v/v_{0}$), при которых рвется вторая нить, на рисунке показана штриховкой. При больших скоростях, т. е. когда $v/v_{0} > 1$, всегда рвется та нить, за которую тянут; при меньших скоростях ответ неоднозначен.
Для приведенных в условиях данных $v/v_{0} = 0,314$. Следовательно, порвется нить, привязанная к стене.
