Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12461
2020-01-08 
Моль идеального газа из начального состояния 1 с температурой $T_{1} = 100 К$, расширяясь через турбину в пустой сосуд, совершает некоторую работу и переходит в состояние 2 (см. рисунок). Этот переход происходит без подвода либо отвода тепла. Затем газ сжимают в процессе $2 \rightarrow 3$, в котором давление является линейной функцией объема, и наконец, в изохорическом процессе $3 \rightarrow 1$ газ возвращается в исходное состояние. Найти работу, совершенную газом при расширении через турбину в переходе $1 \rightarrow 2$, если в процессах $2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$ к газу в итоге подведено $Q = 72 Дж$ тепла. Известно также, что $T_{2} = T_{3}, V_{2} = ЗV_{1}$; газовая постоянная $R = 8,31 \frac{Дж}{моль \cdot К}$.
Решение:
При расширении газа через турбину в пустой сосуд он совершает работу за счет своей внутренней энергии (так как подвода тепла нет). В процессе такого перехода отдельные части газа могут иметь разные температуры и давления - это так называемое "неравновесное" расширение. Однако после установления в газе равновесной температуры $T_{2}$ и давления $p_{2}$ совершенная газом работа однозначно определяется законом сохранения энергии:
$A_{1 \rightarrow 2} = c_{V} (T_{1} - T_{2} )$, где $c_{V} = \frac{3}{2} R$.
На участке $2 \rightarrow 3$ начальная внутренняя энергия газа равна конечной, поэтому подведенное к газу тепло $Q_{2 \rightarrow 3}$ определяется совершенной газом работой (площадь трапеции):
$Q_{2 \rightarrow 3} = A_{2 \rightarrow 3} = \frac{p_{2} + p_{3} }{2} (V_{3} - V_{2}) = RT_{2} \frac{1 - \alpha^{2} }{2 \alpha}$, где $\alpha = \frac{V_{2} }{V_{3} } = 3$.
На участке $3 \rightarrow 1$ подведенное к газу тепло определяется изменением его внутренней энергии, так как в изохорическом процессе работа газом не совершается:
$Q_{3 \rightarrow 1} = c_{V} (T_{1} - T_{3}) = c_{V}(T_{1} - T_{2})$.
По условию $Q_{ 2 \rightarrow 3} + Q_{3 \rightarrow 1} = Q \neq 72 Дж$, или
$RT_{2} \frac{1 - \alpha^{2} }{2 \alpha} + c_{V} (T_{1} - T_{2} ) = Q$.
Последнее равенство позволяет найти температуру $T_{2}$, а затем и работу $A_{1 \rightarrow 2}$:
$A_{1 \rightarrow 2} = \frac{Q + RT_{1} \frac{ \alpha^{2} - 1 }{2 \alpha} }{1 + \frac{R}{c_{V} } \frac{ \alpha^{2} - 1 }{2 \alpha} } = 625 Дж$.
Моль идеального газа из начального состояния 1 с температурой $T_{1} = 100 К$, расширяясь через турбину в пустой сосуд, совершает некоторую работу и переходит в состояние 2 (см. рисунок). Этот переход происходит без подвода либо отвода тепла. Затем газ сжимают в процессе $2 \rightarrow 3$, в котором давление является линейной функцией объема, и наконец, в изохорическом процессе $3 \rightarrow 1$ газ возвращается в исходное состояние. Найти работу, совершенную газом при расширении через турбину в переходе $1 \rightarrow 2$, если в процессах $2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$ к газу в итоге подведено $Q = 72 Дж$ тепла. Известно также, что $T_{2} = T_{3}, V_{2} = ЗV_{1}$; газовая постоянная $R = 8,31 \frac{Дж}{моль \cdot К}$.
Решение:
При расширении газа через турбину в пустой сосуд он совершает работу за счет своей внутренней энергии (так как подвода тепла нет). В процессе такого перехода отдельные части газа могут иметь разные температуры и давления - это так называемое "неравновесное" расширение. Однако после установления в газе равновесной температуры $T_{2}$ и давления $p_{2}$ совершенная газом работа однозначно определяется законом сохранения энергии:
$A_{1 \rightarrow 2} = c_{V} (T_{1} - T_{2} )$, где $c_{V} = \frac{3}{2} R$.
На участке $2 \rightarrow 3$ начальная внутренняя энергия газа равна конечной, поэтому подведенное к газу тепло $Q_{2 \rightarrow 3}$ определяется совершенной газом работой (площадь трапеции):
$Q_{2 \rightarrow 3} = A_{2 \rightarrow 3} = \frac{p_{2} + p_{3} }{2} (V_{3} - V_{2}) = RT_{2} \frac{1 - \alpha^{2} }{2 \alpha}$, где $\alpha = \frac{V_{2} }{V_{3} } = 3$.
На участке $3 \rightarrow 1$ подведенное к газу тепло определяется изменением его внутренней энергии, так как в изохорическом процессе работа газом не совершается:
$Q_{3 \rightarrow 1} = c_{V} (T_{1} - T_{3}) = c_{V}(T_{1} - T_{2})$.
По условию $Q_{ 2 \rightarrow 3} + Q_{3 \rightarrow 1} = Q \neq 72 Дж$, или
$RT_{2} \frac{1 - \alpha^{2} }{2 \alpha} + c_{V} (T_{1} - T_{2} ) = Q$.
Последнее равенство позволяет найти температуру $T_{2}$, а затем и работу $A_{1 \rightarrow 2}$:
$A_{1 \rightarrow 2} = \frac{Q + RT_{1} \frac{ \alpha^{2} - 1 }{2 \alpha} }{1 + \frac{R}{c_{V} } \frac{ \alpha^{2} - 1 }{2 \alpha} } = 625 Дж$.
