Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12460
2020-01-08 
Через блок радиусом $R$ перекинут однородный гибкий канат массой $m$ и длиной $l$, прикрепленный к двум крюкам на потолке, расположенным на расстоянии $2R$ (см. рисунок). На оси блока висит груз, масса которого вместе с блоком $M$. Трение между канатом и блоком отсутствует. Найти минимальную силу натяжения каната.
Решение:
Рассмотрим левую половину каната ABD (см. рисунок). Ясно, что чем ниже на участке АВ точка каната, тем меньше в этой точке сила натяжения. Поэтому точку каната с минимальным натяжением надо искать где-то на участке BD. Возьмем произвольную точку С на этом участке, находящуюся на расстоянии $H$ от потолка.
На участок каната АВС действует направленная вертикально вверх сила $F_{1}$ со стороны крюка, сила натяжения каната $F$ в точке С (со стороны расположенной справа от точки С части каната), а также силы давления блока на канат, рассредоточенные по всей поверхности соприкосновения каната с блоком.
Переместим мысленно участок каната АВС на сколь угодно малое расстояние $x$ таким образом, чтобы он занял новое положение $A_{1}B_{1}C_{1}$ (см. рисунок). При таком перемещении сила $F_{1}$ совершит работу $F_{1}x$, а сила $F$ совершит отрицательную работу - $Fx$. Силы давления блока на канат работы не совершат (в каждой точке каната они направлены перпендикулярно направлению перемещения этой точки). Потенциальная энергия перемещенного участка каната увеличится при этом на ту же величину, на какую увеличится потенциальная энергия кусочка каната длиной $x$ и массой $\frac{m}{l}x$ при перенесении его из положения $CC_{1}$ в положение $AA_{1}$. По закону сохранения энергии
$F_{1}x - Fx = \frac{m}{l} xgH$.
Отсюда
$F = F_{1} - \frac{m}{l} xgH$. (1)
Теперь видно, что минимальное значение $F$ на участке BD будет при максимально возможном значении $H$, т. е. в точке D. Равенство (1) для точки D имеет вид
$F_{ min} = F_{1} - \frac{m}{l} g \left ( \frac{l}{2} - \frac{ \pi R}{2} + R \right )$.
Так как $F_{1} = \frac{1}{2} (M + m)g$, что легко показать, то минимальная сила натяжения каната равна
$F_{min} = \frac{Mg}{2} + \frac{mg}{2} \frac{R}{l} ( \pi - 2) \left ( M + m ( \pi - 2) \frac{R}{l} \right ) \frac{g}{2}$.
Через блок радиусом $R$ перекинут однородный гибкий канат массой $m$ и длиной $l$, прикрепленный к двум крюкам на потолке, расположенным на расстоянии $2R$ (см. рисунок). На оси блока висит груз, масса которого вместе с блоком $M$. Трение между канатом и блоком отсутствует. Найти минимальную силу натяжения каната.
Решение:
Рассмотрим левую половину каната ABD (см. рисунок). Ясно, что чем ниже на участке АВ точка каната, тем меньше в этой точке сила натяжения. Поэтому точку каната с минимальным натяжением надо искать где-то на участке BD. Возьмем произвольную точку С на этом участке, находящуюся на расстоянии $H$ от потолка.
На участок каната АВС действует направленная вертикально вверх сила $F_{1}$ со стороны крюка, сила натяжения каната $F$ в точке С (со стороны расположенной справа от точки С части каната), а также силы давления блока на канат, рассредоточенные по всей поверхности соприкосновения каната с блоком.
Переместим мысленно участок каната АВС на сколь угодно малое расстояние $x$ таким образом, чтобы он занял новое положение $A_{1}B_{1}C_{1}$ (см. рисунок). При таком перемещении сила $F_{1}$ совершит работу $F_{1}x$, а сила $F$ совершит отрицательную работу - $Fx$. Силы давления блока на канат работы не совершат (в каждой точке каната они направлены перпендикулярно направлению перемещения этой точки). Потенциальная энергия перемещенного участка каната увеличится при этом на ту же величину, на какую увеличится потенциальная энергия кусочка каната длиной $x$ и массой $\frac{m}{l}x$ при перенесении его из положения $CC_{1}$ в положение $AA_{1}$. По закону сохранения энергии
$F_{1}x - Fx = \frac{m}{l} xgH$.
Отсюда
$F = F_{1} - \frac{m}{l} xgH$. (1)
Теперь видно, что минимальное значение $F$ на участке BD будет при максимально возможном значении $H$, т. е. в точке D. Равенство (1) для точки D имеет вид
$F_{ min} = F_{1} - \frac{m}{l} g \left ( \frac{l}{2} - \frac{ \pi R}{2} + R \right )$.
Так как $F_{1} = \frac{1}{2} (M + m)g$, что легко показать, то минимальная сила натяжения каната равна
$F_{min} = \frac{Mg}{2} + \frac{mg}{2} \frac{R}{l} ( \pi - 2) \left ( M + m ( \pi - 2) \frac{R}{l} \right ) \frac{g}{2}$.
