Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12457
2020-01-08 
При стационарном падении струи воды на плоское блюдце можно наблюдать такую картину: в некотором радиусе $r$ от места падения струи уровень воды очень низок, а на расстоянии $r$ уровень испытывает скачок (см. рисунок). Оцените радиус $r$, если расход воды $q$, высота падения $H$, высота водяной ступени $h$. Считать, что начальная скорость истечения воды из крана $v_{0} \ll \sqrt{2gH}$.
Решение:
Масса воды, вытекающей из крана за единицу времени, равна $q \rho$, где $\rho$ - плотность воды. Поскольку скорость истечения воды из крана $v_{0} \ll \sqrt{2gH}$, можно считать, что при падении на блюдце любая порция воды имеет скорость $v = \sqrt{2gH}$.
Будем считать, что при ударе о блюдце скорость $v$ остается по абсолютной величине прежней и меняется только ее направление. При этом после удара каждая малая порция воды массой $\mu$ переносит (по радиальному направлению) импульс $\mu v = \mu \sqrt{2gH}$, который теряется при столкновении с "водяной стенкой". Пусть время соударения со "стенкой" равно $\Delta t$. Тогда
$f \cdot \Delta t = \mu v = \mu \sqrt{2gH}$, (1)
где $f$ - сила, действующая на порцию $\mu$ воды со стороны "стенки" в том месте, где эта порция налетает на "стенку". Эта сила есть сила гидростатического давления неподвижной воды, образовавшей "ступеньку" высотой $h$, т. е.
$f = \frac{1}{2} \rho gh \cdot \Delta s$, (2)
где $\Delta s$ - площадка на стенке, на которую попадает порция $\mu$ воды. Следовательно, суммарная сила, действующая со стороны "стенки" на ударяющуюся в нее воду, по абсолютной величине равна (см. (2)).
$F = \sum f = \frac{1}{2} \rho gh \sum \Delta s = \frac{1}{2} \rho gh \cdot 2 \pi rh = \pi \rho gh^{2}r$.
С другой стороны (см. (1)),
$F = \sum \frac{ \mu v}{ \Delta t} = \frac{v}{ \Delta t} \sum \mu = \frac{M}{ \Delta t} v = q \rho v = q \rho \sqrt{2gH}$
(масса $M$ равна массе воды, вытекающей из крана за время $\Delta t$, и следовательно, $\frac{M}{ \Delta t} = m = q \rho$). Таким образом, $\pi \rho gh^{2}r = q \rho \sqrt{2gH}$, откуда получаем оценку $r$:
$r = \frac{q}{ \pi h^{2} } \sqrt{ \frac{2H}{g} }$.
При стационарном падении струи воды на плоское блюдце можно наблюдать такую картину: в некотором радиусе $r$ от места падения струи уровень воды очень низок, а на расстоянии $r$ уровень испытывает скачок (см. рисунок). Оцените радиус $r$, если расход воды $q$, высота падения $H$, высота водяной ступени $h$. Считать, что начальная скорость истечения воды из крана $v_{0} \ll \sqrt{2gH}$.
Решение:
Масса воды, вытекающей из крана за единицу времени, равна $q \rho$, где $\rho$ - плотность воды. Поскольку скорость истечения воды из крана $v_{0} \ll \sqrt{2gH}$, можно считать, что при падении на блюдце любая порция воды имеет скорость $v = \sqrt{2gH}$.
Будем считать, что при ударе о блюдце скорость $v$ остается по абсолютной величине прежней и меняется только ее направление. При этом после удара каждая малая порция воды массой $\mu$ переносит (по радиальному направлению) импульс $\mu v = \mu \sqrt{2gH}$, который теряется при столкновении с "водяной стенкой". Пусть время соударения со "стенкой" равно $\Delta t$. Тогда
$f \cdot \Delta t = \mu v = \mu \sqrt{2gH}$, (1)
где $f$ - сила, действующая на порцию $\mu$ воды со стороны "стенки" в том месте, где эта порция налетает на "стенку". Эта сила есть сила гидростатического давления неподвижной воды, образовавшей "ступеньку" высотой $h$, т. е.
$f = \frac{1}{2} \rho gh \cdot \Delta s$, (2)
где $\Delta s$ - площадка на стенке, на которую попадает порция $\mu$ воды. Следовательно, суммарная сила, действующая со стороны "стенки" на ударяющуюся в нее воду, по абсолютной величине равна (см. (2)).
$F = \sum f = \frac{1}{2} \rho gh \sum \Delta s = \frac{1}{2} \rho gh \cdot 2 \pi rh = \pi \rho gh^{2}r$.
С другой стороны (см. (1)),
$F = \sum \frac{ \mu v}{ \Delta t} = \frac{v}{ \Delta t} \sum \mu = \frac{M}{ \Delta t} v = q \rho v = q \rho \sqrt{2gH}$
(масса $M$ равна массе воды, вытекающей из крана за время $\Delta t$, и следовательно, $\frac{M}{ \Delta t} = m = q \rho$). Таким образом, $\pi \rho gh^{2}r = q \rho \sqrt{2gH}$, откуда получаем оценку $r$:
$r = \frac{q}{ \pi h^{2} } \sqrt{ \frac{2H}{g} }$.
