Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12456
2020-01-08 
Горизонтальная площадка, на которой лежит брусок, вибрирует по гармоническому закону с частотой $f = 10 Гц$ в направлении, составляющем угол $\alpha = 45^{ \circ}$ с вертикалью (рис.). Коэффициент трения бруска о площадку $\mu = 0,5$. При какой минимальной амплитуде вибраций брусок "поползет" по площадке?
Решение:
Найдем сначала действующие на брусок силы, предполагая, что он движется вместе с площадкой, т. е. по закону $\vec{r}(t)= \vec{A} \sin 2 \pi ft$, где вектор $\vec{A}$ направлен под углом $\alpha = 45^{ \circ}$ к вертикали. По второму закону Ньютона
$m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F} = m \vec{a}$, (1)
где $m \vec{g}$ - сила тяжести, $\vec{N}$ - нормальная сила реакции площадки, $\vec{F}$ - действующая на брусок сила трения покоя, направленная горизонтально (вправо или влево), $\vec{a} = - \vec{A} \omega^{2} \sin \omega t$ ($\omega = 2 \pi f$). Запишем (1) в проекциях на горизонтальную $x$ и вертикальную $y$ оси (см. рис.):
$F_{x} = ma_{x} = \frac{mA \omega^{2} }{ \sqrt{2} } \sin \omega t$, (2)
$N - mg = ma_{y} = - \frac{mA \omega^{2} }{ \sqrt{2} } \sin \omega t$, (3)
Учитывая, что сила трения покоя $|F_{x}| \leq \mu |N|$, из (2) и (3) получаем:
$\left | \frac{mA \omega^{2} }{ \sqrt{2} } \sin \omega t \right | \leq \left | \mu mg - \frac{ \mu m A \omega^{2} }{ \sqrt{2} } \sin \omega t \right |$. (4)
Правая часть неравенства (4) при $\sin \omega t < 0$ всегда больше, чем при $\sin \omega t > 0$. Поэтому минимальное значение амплитуды вибраций, при которой брусок поползет по площадке, следует искать при $\sin \omega t > 0$.
Знак равенства соответствует предельной ситуации, когда трения покоя едва хватает для того, чтобы сообщать бруску такое же горизонтальное ускорение, с каким движется площадка, и в этом случае (4) можно использовать как уравнение для нахождения того момента времени $t_{1}$, когда брусок поползет по площадке:
$\sin \omega t_{1} = \frac{ \mu g \sqrt{2} }{ ( \mu + 1)A \omega^{2} }$. (5)
Такой момент $t_{1}$ существует, если уравнение (5) имеет решение. Для этого его правая часть должна быть меньше единицы, т. е. $\mu g \sqrt{2} <( \mu + 1) A \omega^{2}$, или
$A > \frac{ \mu g \sqrt{2} }{( \mu + 1) \omega^{2} }$. (6)
Таким образом, скольжение бруска по площадке возникает тогда, когда амплитуда $A$ ее колебаний удовлетворяет неравенству (6). Графическое решение уравнения (5) приведено на рисунке. Начиная с момента $t_{1}$, брусок скользит вправо относительно площадки. В момент времени $t_{2}$ сила трения становится в состоянии обеспечить бруску такое же, как у площадки, горизонтальное ускорение, но проскальзывание продолжается еще некоторое время и после $t_{2}$, так как к моменту $t_{2}$ скорость бруска относительно площадки не равна нулю.
Итак, брусок "поползет", когда амплитуда колебаний площадки превысит минимальное значение
$A_{min} = \frac{ \mu g \sqrt{2} }{( \mu + 1 ) \omega^{2} } = 1,2 мм$.
Если же амплитуда превышает значение $A_{1} = \frac{g \sqrt{2}}{ \omega^{2}}$ ($A_{1} = 3A_{min}$ при $\mu = 0,5$), то брусок не только "ползет", но еще и "подскакивает" (отрывается от площадки), так как при этом в течение некоторой части периода колебаний сила $N$ нормальной реакции площадки обращается в нуль (это легко увидеть из уравнения (3)).
Горизонтальная площадка, на которой лежит брусок, вибрирует по гармоническому закону с частотой $f = 10 Гц$ в направлении, составляющем угол $\alpha = 45^{ \circ}$ с вертикалью (рис.). Коэффициент трения бруска о площадку $\mu = 0,5$. При какой минимальной амплитуде вибраций брусок "поползет" по площадке?
Решение:
Найдем сначала действующие на брусок силы, предполагая, что он движется вместе с площадкой, т. е. по закону $\vec{r}(t)= \vec{A} \sin 2 \pi ft$, где вектор $\vec{A}$ направлен под углом $\alpha = 45^{ \circ}$ к вертикали. По второму закону Ньютона
$m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F} = m \vec{a}$, (1)
где $m \vec{g}$ - сила тяжести, $\vec{N}$ - нормальная сила реакции площадки, $\vec{F}$ - действующая на брусок сила трения покоя, направленная горизонтально (вправо или влево), $\vec{a} = - \vec{A} \omega^{2} \sin \omega t$ ($\omega = 2 \pi f$). Запишем (1) в проекциях на горизонтальную $x$ и вертикальную $y$ оси (см. рис.):
$F_{x} = ma_{x} = \frac{mA \omega^{2} }{ \sqrt{2} } \sin \omega t$, (2)
$N - mg = ma_{y} = - \frac{mA \omega^{2} }{ \sqrt{2} } \sin \omega t$, (3)
Учитывая, что сила трения покоя $|F_{x}| \leq \mu |N|$, из (2) и (3) получаем:
$\left | \frac{mA \omega^{2} }{ \sqrt{2} } \sin \omega t \right | \leq \left | \mu mg - \frac{ \mu m A \omega^{2} }{ \sqrt{2} } \sin \omega t \right |$. (4)
Правая часть неравенства (4) при $\sin \omega t < 0$ всегда больше, чем при $\sin \omega t > 0$. Поэтому минимальное значение амплитуды вибраций, при которой брусок поползет по площадке, следует искать при $\sin \omega t > 0$.
Знак равенства соответствует предельной ситуации, когда трения покоя едва хватает для того, чтобы сообщать бруску такое же горизонтальное ускорение, с каким движется площадка, и в этом случае (4) можно использовать как уравнение для нахождения того момента времени $t_{1}$, когда брусок поползет по площадке:
$\sin \omega t_{1} = \frac{ \mu g \sqrt{2} }{ ( \mu + 1)A \omega^{2} }$. (5)
Такой момент $t_{1}$ существует, если уравнение (5) имеет решение. Для этого его правая часть должна быть меньше единицы, т. е. $\mu g \sqrt{2} <( \mu + 1) A \omega^{2}$, или
$A > \frac{ \mu g \sqrt{2} }{( \mu + 1) \omega^{2} }$. (6)
Таким образом, скольжение бруска по площадке возникает тогда, когда амплитуда $A$ ее колебаний удовлетворяет неравенству (6). Графическое решение уравнения (5) приведено на рисунке. Начиная с момента $t_{1}$, брусок скользит вправо относительно площадки. В момент времени $t_{2}$ сила трения становится в состоянии обеспечить бруску такое же, как у площадки, горизонтальное ускорение, но проскальзывание продолжается еще некоторое время и после $t_{2}$, так как к моменту $t_{2}$ скорость бруска относительно площадки не равна нулю.
Итак, брусок "поползет", когда амплитуда колебаний площадки превысит минимальное значение
$A_{min} = \frac{ \mu g \sqrt{2} }{( \mu + 1 ) \omega^{2} } = 1,2 мм$.
Если же амплитуда превышает значение $A_{1} = \frac{g \sqrt{2}}{ \omega^{2}}$ ($A_{1} = 3A_{min}$ при $\mu = 0,5$), то брусок не только "ползет", но еще и "подскакивает" (отрывается от площадки), так как при этом в течение некоторой части периода колебаний сила $N$ нормальной реакции площадки обращается в нуль (это легко увидеть из уравнения (3)).
