Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12455
2020-01-08 
В схеме приведенной на рисунке, сверхпроводящие катушки имеют одинаковые индуктивности $L$, диод Д идеальный, начальный заряд конденсатора емкостью $C$ равен $Q_{0}$. Постройте графики изменения заряда $Q(t)$ конденсатора и токов $I_{1}(t)$ и $I_{2}(t)$ через катушки после замыкания ключа.
Решение:
Схему данной цепи представим в эквивалентной форме (рис.). Будем считать токи в катушках положительными, когда их направления соответствуют обходу внешнего контура против часовой стрелки. Процессы в такой цепи легко проанализировать по аналогии, рассматривая механическую систему, показанную на рисунке: одинаковые тележки массой $m$ (аналог катушек) соединены пружиной жесткостью $k$ (аналог конденсатора). Так как ток через правую катушку благодаря диоду Д может протекать только в положительном направлении, колеса второй тележки должны быть снабжены устройством, позволяющим ей свободно двигаться только вправо. В этой системе скорости тележек $v_{1}(t)$ и $v_{2} (t)$ будут аналогами токов $I_{1}(t)$ и $I_{2}(t)$, а деформация пружины $x(t)$ - аналогом заряда конденсатора $Q(t)$.
Пружина сначала растянута на $x_{0}$.
В момент времени $t = 0$ левую тележку отпускают без начальной скорости (при замыкании ключа конденсатор начинает разряжаться через левую катушку). До тех пор, пока деформация пружины не обратится в нуль, правая тележка неподвижна ($v_{2} = 0$), ибо пружина тянет ее влево, куда она катиться не может (пока заряд конденсатора не обратится в нуль, ток через правую катушку протекать не может: $I_{2} = 0$). Эта первая фаза движения от $t = 0$ до момента $t_{1}$ соответствует четверти периода гармонических колебаний тележки массы $m$ на пружине жесткостью $k$: $t_{1} = \frac{T_{1}}{4} = \frac{2 \pi}{4} \sqrt{ \frac{m}{k} }$ (для цепи $t_{1} = \frac{T_{1}}{4} = \frac{2 \pi}{4} \sqrt{LC}$). К моменту $t_{1}$ левая тележка разгоняется до скорости $v_{1}$, которую можно найти из закона сохранения энергии:
$\frac{kx_{0}^{2}}{2} = \frac{mv_{1}^{2} }{2} \Rightarrow v_{1} = x_{0} \sqrt{ \frac{l}{m} }$
(аналогично для цепи $I_{1} = \frac{Q_{0} }{ \sqrt{LC} }$). Деформация пружины $x(t)$ (заряд конденсатора $Q(t)$) уменьшается за это время по косинусоидальному закону от начального максимального значения $x_{0}(Q_{0})$ до нуля.
Затем пружина начинает сжиматься и толкать вторую тележку вправо, т. е., начиная с момента $t_{1}$, колеса правой тележки освобождаются (заряд нижней пластины конденсатора становится положительным, и диод пропускает ток через правую катушку). В дальнейшем центр масс тележек движется вправо со скоростью $v_{1}/2$, и эта скорость постоянна, так как при $ t > t_{1}$ никакие внешние силы на систему не действуют На это равномерное движение накладываются колебания тележек относительно центра масс, происходящие в противофазе с частотой $\omega = \sqrt{ \frac{2k}{m} }$ (жесткость "половины" пружины составляет $2k$). Так как при $t = t_{1}$, когда пружина не деформирована, тележки движутся относительно центра масс навстречу друг другу со скоростью $\frac{v_{1} }{2} = \frac{x_{0} }{2} \sqrt{ \frac{k}{m} }$, то именно такой будет амплитуда колебаний скорости. Амплитуду $x_{1}$ колебаний деформации пружины можно найти из закона сохранения энергии, приравнивая кинетическую энергию тележек (в системе центра масс) в момент $t_{1}$ потенциальной энергии пружины в момент максимальной ее деформации:
$\frac{2m \left ( \frac{v_{1} }{2} \right )^{2} }{2} = \frac{kx_{0}^{2} }{4} = \frac{kx_{1}^{2} }{2} \Rightarrow x_{1} = \frac{x_{0} }{ \sqrt{2} }$.
В электрической цепи аналогом равномерного движения системы как целого будет постоянный ток $I_{1}/2$, циркулирующий по внешнему контуру. На этот ток накладываются происходящие в противофазе колебания тока в контурах (рис.), содержащих по одной катушке и по "половине" конденсатора (по конденсатору емкостью $C/2$), период которых $T= \frac{2 \pi}{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{LC}{2} }$. Амплитуда колебаний заряда конденсатора $Q_{1} = \frac{Q_{0}}{ \sqrt{2}}$. Графики рассмотренных процессов приведены на рисунке.
В схеме приведенной на рисунке, сверхпроводящие катушки имеют одинаковые индуктивности $L$, диод Д идеальный, начальный заряд конденсатора емкостью $C$ равен $Q_{0}$. Постройте графики изменения заряда $Q(t)$ конденсатора и токов $I_{1}(t)$ и $I_{2}(t)$ через катушки после замыкания ключа.
Решение:
Схему данной цепи представим в эквивалентной форме (рис.). Будем считать токи в катушках положительными, когда их направления соответствуют обходу внешнего контура против часовой стрелки. Процессы в такой цепи легко проанализировать по аналогии, рассматривая механическую систему, показанную на рисунке: одинаковые тележки массой $m$ (аналог катушек) соединены пружиной жесткостью $k$ (аналог конденсатора). Так как ток через правую катушку благодаря диоду Д может протекать только в положительном направлении, колеса второй тележки должны быть снабжены устройством, позволяющим ей свободно двигаться только вправо. В этой системе скорости тележек $v_{1}(t)$ и $v_{2} (t)$ будут аналогами токов $I_{1}(t)$ и $I_{2}(t)$, а деформация пружины $x(t)$ - аналогом заряда конденсатора $Q(t)$.
Пружина сначала растянута на $x_{0}$.
В момент времени $t = 0$ левую тележку отпускают без начальной скорости (при замыкании ключа конденсатор начинает разряжаться через левую катушку). До тех пор, пока деформация пружины не обратится в нуль, правая тележка неподвижна ($v_{2} = 0$), ибо пружина тянет ее влево, куда она катиться не может (пока заряд конденсатора не обратится в нуль, ток через правую катушку протекать не может: $I_{2} = 0$). Эта первая фаза движения от $t = 0$ до момента $t_{1}$ соответствует четверти периода гармонических колебаний тележки массы $m$ на пружине жесткостью $k$: $t_{1} = \frac{T_{1}}{4} = \frac{2 \pi}{4} \sqrt{ \frac{m}{k} }$ (для цепи $t_{1} = \frac{T_{1}}{4} = \frac{2 \pi}{4} \sqrt{LC}$). К моменту $t_{1}$ левая тележка разгоняется до скорости $v_{1}$, которую можно найти из закона сохранения энергии:
$\frac{kx_{0}^{2}}{2} = \frac{mv_{1}^{2} }{2} \Rightarrow v_{1} = x_{0} \sqrt{ \frac{l}{m} }$
(аналогично для цепи $I_{1} = \frac{Q_{0} }{ \sqrt{LC} }$). Деформация пружины $x(t)$ (заряд конденсатора $Q(t)$) уменьшается за это время по косинусоидальному закону от начального максимального значения $x_{0}(Q_{0})$ до нуля.
Затем пружина начинает сжиматься и толкать вторую тележку вправо, т. е., начиная с момента $t_{1}$, колеса правой тележки освобождаются (заряд нижней пластины конденсатора становится положительным, и диод пропускает ток через правую катушку). В дальнейшем центр масс тележек движется вправо со скоростью $v_{1}/2$, и эта скорость постоянна, так как при $ t > t_{1}$ никакие внешние силы на систему не действуют На это равномерное движение накладываются колебания тележек относительно центра масс, происходящие в противофазе с частотой $\omega = \sqrt{ \frac{2k}{m} }$ (жесткость "половины" пружины составляет $2k$). Так как при $t = t_{1}$, когда пружина не деформирована, тележки движутся относительно центра масс навстречу друг другу со скоростью $\frac{v_{1} }{2} = \frac{x_{0} }{2} \sqrt{ \frac{k}{m} }$, то именно такой будет амплитуда колебаний скорости. Амплитуду $x_{1}$ колебаний деформации пружины можно найти из закона сохранения энергии, приравнивая кинетическую энергию тележек (в системе центра масс) в момент $t_{1}$ потенциальной энергии пружины в момент максимальной ее деформации:
$\frac{2m \left ( \frac{v_{1} }{2} \right )^{2} }{2} = \frac{kx_{0}^{2} }{4} = \frac{kx_{1}^{2} }{2} \Rightarrow x_{1} = \frac{x_{0} }{ \sqrt{2} }$.
В электрической цепи аналогом равномерного движения системы как целого будет постоянный ток $I_{1}/2$, циркулирующий по внешнему контуру. На этот ток накладываются происходящие в противофазе колебания тока в контурах (рис.), содержащих по одной катушке и по "половине" конденсатора (по конденсатору емкостью $C/2$), период которых $T= \frac{2 \pi}{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{LC}{2} }$. Амплитуда колебаний заряда конденсатора $Q_{1} = \frac{Q_{0}}{ \sqrt{2}}$. Графики рассмотренных процессов приведены на рисунке.
