Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12454
2020-01-08 
"Черный ящик" содержит катушку, резистор и конденсатор и имеет три вывода. При его исследовании были получены следующие результаты.
В схеме, показанной на рисунке, амперметр показал $I_{1} = 0,1 А$ при частоте генератора $\nu_{1} = 1000 Гц$; ток через амперметр отставал по фазе от входного напряжения на $\Delta \phi_{1} = \pi /6$. Когда частоту генератора уменьшили в 100 раз, ток возрос менее чем в 2 раза. Частоту генератора вернули к прежнему значению $u$ вместо амперметра в цепь включили вольтметр (рис.). Вольтметр показал $U_{1} = 20 В$, а сдвиг фаз между напряжением на вольтметре ($U_{в}$) и входным напряжением ($U_{вх}$) опять составил $\Delta \phi_{1} = \pi /б$. Найдите по этим данным параметры элементов "черного ящика". Во сколько раз нужно изменить частоту генератора, чтобы в схеме с вольтметром (см. рис.) сдвиг фаз между $U_{в}$ и $U_{хч}$ составил $\Delta \phi_{2} = \pi /2$? Измерительные приборы считать идеальными. Внутреннее сопротивление генератора пренебрежимо мало.
Решение:
Возможных схем (из упомянутых в условии задачи трех элементов) довольно много - 24. Поэтому нужно вначале их нарисовать и решить - какие из них в принципе могут удовлетворять поставленным условиям. Чтобы не пропустить какой-либо схемы, нужно их разумно классифицировать - например: нарисуем вначале все схемы, в которых к точке 2 ("общей") присоединен только резистор, потом - только конденсатор, потом - только катушка. Таких схем всего 12. Затем нарисуем схемы, где к этому выводу подключены ровно два элемента - этих схем 6. Остались еще схемы: ни один из элементов не подключен к общему проводу - их 5, и все три элемента подключены к общему проводу - такая схема одна. (Мы тут не рассматриваем схем, в которых точки 1 или 3 оказываются не подключенными,- понятно почему.)
Довольно простой анализ показывает, что условиям задачи может удовлетворять только схема, приведенная на рисунке. В схеме с амперметром, включенным параллельно конденсатору (см. рис.), можно "выбросить" конденсатор - амперметр идеальный, значит, ток через конденсатор вообще не идет. На рисунке приведена такая "упрощенная" схема (рис. а) и векторная диаграмма напряжений (рис. б). Из диаграммы имеем:
$\frac{X_{L} }{R} = tg \frac{ \pi}{6} = \frac{1}{ \sqrt{3} }$,
откуда $X_{L} = \frac{1}{ \sqrt{3} }R$ и
$I_{1} \sqrt{R^{2} + X_{L}^{2} } = I_{1} \frac{2R}{ \sqrt{3} } = U_{0} \Rightarrow I_{1} = \frac{ \sqrt{3} }{2} \frac{U_{0} }{R}$.
На рисунке приведена схема "черного ящика" с подключенным вольтметром (рис. а) и диаграмма напряжений (рис. б):
$\frac{X_{C} - X_{L} }{R} = \sqrt{3} \Rightarrow X_{C} = R \sqrt{3} + X_{L} = \frac{4}{ \sqrt{3} } R, \frac{X_{L} }{X_{C} } = \frac{1}{4}$;
$U_{C} - U_{L} = \frac{3}{4} U_{в} = U_{вх} \cos \frac{ \pi}{6} = \frac{2}{ \sqrt{3} } U_{вх}$,
откуда
$\frac{U_{в} }{I_{1} } = \frac{2U_{вх} }{ \sqrt{3} } \frac{2R}{U_{вх} \sqrt{3} } = \frac{4}{3}R \Rightarrow R = \frac{3}{4} \frac{U_{в} }{I_{1} } = 150$
Следовательно,
$L = \frac{X_{L} }{2 \pi \nu_{1} } = \frac{R}{ 2 \pi \nu_{1} \sqrt{3} } \approx 14 \cdot 10^{-3} Гн$,
$C = \frac{1 }{2 \pi \nu_{1} X_{C} } = \frac{ \sqrt{3} }{ 2 \pi \nu_{1} \cdot 4R } \approx 0,46 мкФ$,
Сдвиг фаз между $U_{в}$ и $U_{вх}$ будет равен $\Delta \phi_{2} = \pi /2$ при частоте генератора
$\nu = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{1}{LC} } = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ 2 \pi \nu_{1} \sqrt{3} }{R} \frac{2 \pi \nu_{1} \cdot 4R }{ \sqrt{3}} } = 2 \nu_{1}$,
так что $\nu_{1} : \nu = 0,5$.
"Черный ящик" содержит катушку, резистор и конденсатор и имеет три вывода. При его исследовании были получены следующие результаты.
В схеме, показанной на рисунке, амперметр показал $I_{1} = 0,1 А$ при частоте генератора $\nu_{1} = 1000 Гц$; ток через амперметр отставал по фазе от входного напряжения на $\Delta \phi_{1} = \pi /6$. Когда частоту генератора уменьшили в 100 раз, ток возрос менее чем в 2 раза. Частоту генератора вернули к прежнему значению $u$ вместо амперметра в цепь включили вольтметр (рис.). Вольтметр показал $U_{1} = 20 В$, а сдвиг фаз между напряжением на вольтметре ($U_{в}$) и входным напряжением ($U_{вх}$) опять составил $\Delta \phi_{1} = \pi /б$. Найдите по этим данным параметры элементов "черного ящика". Во сколько раз нужно изменить частоту генератора, чтобы в схеме с вольтметром (см. рис.) сдвиг фаз между $U_{в}$ и $U_{хч}$ составил $\Delta \phi_{2} = \pi /2$? Измерительные приборы считать идеальными. Внутреннее сопротивление генератора пренебрежимо мало.
Решение:
Возможных схем (из упомянутых в условии задачи трех элементов) довольно много - 24. Поэтому нужно вначале их нарисовать и решить - какие из них в принципе могут удовлетворять поставленным условиям. Чтобы не пропустить какой-либо схемы, нужно их разумно классифицировать - например: нарисуем вначале все схемы, в которых к точке 2 ("общей") присоединен только резистор, потом - только конденсатор, потом - только катушка. Таких схем всего 12. Затем нарисуем схемы, где к этому выводу подключены ровно два элемента - этих схем 6. Остались еще схемы: ни один из элементов не подключен к общему проводу - их 5, и все три элемента подключены к общему проводу - такая схема одна. (Мы тут не рассматриваем схем, в которых точки 1 или 3 оказываются не подключенными,- понятно почему.)
Довольно простой анализ показывает, что условиям задачи может удовлетворять только схема, приведенная на рисунке. В схеме с амперметром, включенным параллельно конденсатору (см. рис.), можно "выбросить" конденсатор - амперметр идеальный, значит, ток через конденсатор вообще не идет. На рисунке приведена такая "упрощенная" схема (рис. а) и векторная диаграмма напряжений (рис. б). Из диаграммы имеем:
$\frac{X_{L} }{R} = tg \frac{ \pi}{6} = \frac{1}{ \sqrt{3} }$,
откуда $X_{L} = \frac{1}{ \sqrt{3} }R$ и
$I_{1} \sqrt{R^{2} + X_{L}^{2} } = I_{1} \frac{2R}{ \sqrt{3} } = U_{0} \Rightarrow I_{1} = \frac{ \sqrt{3} }{2} \frac{U_{0} }{R}$.
На рисунке приведена схема "черного ящика" с подключенным вольтметром (рис. а) и диаграмма напряжений (рис. б):
$\frac{X_{C} - X_{L} }{R} = \sqrt{3} \Rightarrow X_{C} = R \sqrt{3} + X_{L} = \frac{4}{ \sqrt{3} } R, \frac{X_{L} }{X_{C} } = \frac{1}{4}$;
$U_{C} - U_{L} = \frac{3}{4} U_{в} = U_{вх} \cos \frac{ \pi}{6} = \frac{2}{ \sqrt{3} } U_{вх}$,
откуда
$\frac{U_{в} }{I_{1} } = \frac{2U_{вх} }{ \sqrt{3} } \frac{2R}{U_{вх} \sqrt{3} } = \frac{4}{3}R \Rightarrow R = \frac{3}{4} \frac{U_{в} }{I_{1} } = 150$
Следовательно,
$L = \frac{X_{L} }{2 \pi \nu_{1} } = \frac{R}{ 2 \pi \nu_{1} \sqrt{3} } \approx 14 \cdot 10^{-3} Гн$,
$C = \frac{1 }{2 \pi \nu_{1} X_{C} } = \frac{ \sqrt{3} }{ 2 \pi \nu_{1} \cdot 4R } \approx 0,46 мкФ$,
Сдвиг фаз между $U_{в}$ и $U_{вх}$ будет равен $\Delta \phi_{2} = \pi /2$ при частоте генератора
$\nu = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{1}{LC} } = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ 2 \pi \nu_{1} \sqrt{3} }{R} \frac{2 \pi \nu_{1} \cdot 4R }{ \sqrt{3}} } = 2 \nu_{1}$,
так что $\nu_{1} : \nu = 0,5$.
