Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12453
2020-01-08 
В большой сосуд с жидкостью, плотность которой $\rho_{1}$, опущен маленький цилиндрический сосуд с площадью основания $S$, в дно которого вставлена трубочка длиной $l$ (рис.); стенки сосудов жестко скреплены между собой. В маленький сосуд наливают подкрашенную жидкость плотностью $\rho_{2}$ ($\rho_{2} > \rho_{1}$) до высоты $H$ так, что уровни жидкостей в большом и малом сосудах совпадают. В некоторый момент времени отверстие в трубочке открывают. Тяжелая жидкость начинает вытекать в большой сосуд, через некоторое время легкая жидкость из большого сосуда втекает в маленький сосуд; затем процесс повторяется. Какая масса тяжелой жидкости вытечет из маленького сосуда в первый раз? Какая масса тяжелой жидкости будет вытекать каждый раз в дальнейшем? Какая масса легкой жидкости будет втекать каждый раз в маленький сосуд? Считать, что жидкости не смешиваются: поверхностным натяжением пренебречь.
Решение:
После открытия отверстия в трубочке жидкость плотностью $\rho_{2}$ будет вытекать в большой сосуд до тех пор, пока давление в точке А (рис.) со стороны жидкости плотностью $\rho_{1}$ не станет равно давлению жидкости плотностью $\rho_{2}$. Из этого условия легко находится масса жидкости, которая вытечет из маленького сосуда в первый раз.
Для этого запишем условия равновесия (см. рис. 2):
$\rho_{1}g(H + l) = \rho_{2}g(h + l) = \rho_{2}g(H - \Delta h + l)$, (1)
где $\Delta h = (H - h)$ - понижение уровня жидкости в маленьком сосуде. Отсюда
$h = \frac{ \rho_{1} }{ \rho_{2} } H - \frac{ \rho_{2} - \rho_{1} }{ \rho_{2} } l, \Delta h = \frac{ \rho_{2} - \rho_{1} }{ \rho_{2} } (H + l)$,
и
$\Delta m = \rho_{2} \cdot \Delta h \cdot s = ( \rho_{2} - \rho_{1} )(H + l)s$
($s$ - площадь основания маленького сосуда).
Для упрощения дальнейшего решения сделаем некоторые предположения.
1. Площадь сечения большого сосуда настолько велика, что если жидкость вытекает из маленького сосуда или втекает в него, то уровень жидкости в большом сосуде ие меняется.
2. Диаметр трубочки и длина ее настолько малы, что объемом этой трубочки по сравнению с объемами сосудов можно пренебречь, т. е. когда жидкость из трубочки вытекает, уровень жидкости в маленьком сосуде не меняется.
На первый взгляд может показаться, что, после того как давления в точке А выравняются, процесс должен остановиться; но это не так. Такое положение неустойчиво. Предположим, что жидкость плотностью $\rho_{1}$ втечет в трубочку на небольшую высоту $\Delta x$ (рис.); тогда давление в точке $A^{ \prime}$ со стороны жидкости плотностью $\rho_{1}$ будет больше, чем давление в точке $A^{ \prime}$ со стороны жидкости плотностью $\rho_{2}$.
Действительно, давление в точке $A^{ \prime}$ со стороны жидкости плотностью $\rho_{1}$ будет равно $p_{1} = \rho_{1}g(H + l - \Delta x)$, а со стороны жидкости плотностью $\rho_{2} - p_{2} =\rho_{2} g (h + l - \Delta x)$; разность этих давлений
$\Delta p = p_{1} - p_{2} = ( \rho_{2} - \rho_{1} )g \cdot \Delta x$
будет двигать жидкость вверх, поскольку $\rho_{1} g(H + l )= \rho_{2}g(h + l)$ - условие равновесия (см. (1)). Жидкость плотностью $\rho_{1}$ будет втекать в маленький сосуд до тех пор, пока давления сверху и снизу в точке В (см. рис.) не выравняются. Жидкость плотностью $\rho_{1}$ будет всплывать над жидкостью плотностью $\rho_{2}$ (по условию задачи они не смешиваются).
Запишем условие равенства давлений в точке В:
$\rho_{1}gH = \rho_{1} g \Delta h_{1} + \rho_{2}gh$, (2)
где $\Delta h_{1}$ - высота жидкости плотностью $\rho_{1}$, которая втекла в маленький сосуд.
Из (1) и (2) находим: $\Delta h_{1} = \frac{ \rho_{2} - \rho_{1} }{ \rho_{1} } l$, и
$\Delta m_{1} = ( \rho_{2} - \rho_{1} ) ls$.
Теперь, когда стала ясна причина перетеканий жидкостей из одного сосуда в другой, напишем уравнения равновесия в более общем случае. Предположим, что равновесие в точке В наступает в момент, когда
$\rho_{1} gH = \rho_{1} gh_{1} + \rho_{2}gh_{2}$. (3)
где $h_{1}$ - высота жидкости плотностью $\rho_{1}$ и $h_{2}$ - высота жидкости плотностью $\rho_{2}$ в маленьком сосуде (рис.). Мы уже знаем, что положение равновесия неустойчиво, и жидкость будет вытекать из маленького сосуда, пока давления в точке А не выравняются, а это значит, что
$\rho_{1} g(H + l) = \rho_{1}gh_{1} + \rho_{2}g(h_{2}^{ \prime} + l) $. (4)
Из (3) и (4) получаем: $\Delta h_{2} = h_{2} - h_{2}^{ \prime} = \frac{ \rho_{2} - \rho_{1} }{ \rho_{2} }l$, и
$\Delta m_{2} = ( \rho_{2} - \rho_{1} )ls$.
Когда давления в точке А равны, положение неустойчиво, и жидкость плотностью $\rho_{1}$ будет втекать в маленький сосуд до тех пор, пока давления в точке В не выравняются, а это значит, что
$\rho_{1} gH = \rho_{1}gh_{1}^{ \prime} + \rho_{2}gh_{2}^{ \prime}$. (5)
Из (4) и (5) получаем: $\Delta h_{3} = h_{1}^{ \prime} - h_{1} = \frac{ \rho_{2} - \rho_{1} }{ \rho_{1} }l$, и
$\Delta m_{3} = ( \rho_{2} - \rho_{1} )ls = \Delta m_{2}$.
Значит, каждый раз из маленького сосуда будут вытекать и втекать одинаковые массы жидкости
$\Delta m = ( \rho_{2} - \rho_{1} )ls$.
Заметим, что объемы жидкостей, которые втекают и вытекают из сосуда, будут разные; почему это так, подумайте самостоятельно.
В большой сосуд с жидкостью, плотность которой $\rho_{1}$, опущен маленький цилиндрический сосуд с площадью основания $S$, в дно которого вставлена трубочка длиной $l$ (рис.); стенки сосудов жестко скреплены между собой. В маленький сосуд наливают подкрашенную жидкость плотностью $\rho_{2}$ ($\rho_{2} > \rho_{1}$) до высоты $H$ так, что уровни жидкостей в большом и малом сосудах совпадают. В некоторый момент времени отверстие в трубочке открывают. Тяжелая жидкость начинает вытекать в большой сосуд, через некоторое время легкая жидкость из большого сосуда втекает в маленький сосуд; затем процесс повторяется. Какая масса тяжелой жидкости вытечет из маленького сосуда в первый раз? Какая масса тяжелой жидкости будет вытекать каждый раз в дальнейшем? Какая масса легкой жидкости будет втекать каждый раз в маленький сосуд? Считать, что жидкости не смешиваются: поверхностным натяжением пренебречь.
Решение:
После открытия отверстия в трубочке жидкость плотностью $\rho_{2}$ будет вытекать в большой сосуд до тех пор, пока давление в точке А (рис.) со стороны жидкости плотностью $\rho_{1}$ не станет равно давлению жидкости плотностью $\rho_{2}$. Из этого условия легко находится масса жидкости, которая вытечет из маленького сосуда в первый раз.
Для этого запишем условия равновесия (см. рис. 2):
$\rho_{1}g(H + l) = \rho_{2}g(h + l) = \rho_{2}g(H - \Delta h + l)$, (1)
где $\Delta h = (H - h)$ - понижение уровня жидкости в маленьком сосуде. Отсюда
$h = \frac{ \rho_{1} }{ \rho_{2} } H - \frac{ \rho_{2} - \rho_{1} }{ \rho_{2} } l, \Delta h = \frac{ \rho_{2} - \rho_{1} }{ \rho_{2} } (H + l)$,
и
$\Delta m = \rho_{2} \cdot \Delta h \cdot s = ( \rho_{2} - \rho_{1} )(H + l)s$
($s$ - площадь основания маленького сосуда).
Для упрощения дальнейшего решения сделаем некоторые предположения.
1. Площадь сечения большого сосуда настолько велика, что если жидкость вытекает из маленького сосуда или втекает в него, то уровень жидкости в большом сосуде ие меняется.
2. Диаметр трубочки и длина ее настолько малы, что объемом этой трубочки по сравнению с объемами сосудов можно пренебречь, т. е. когда жидкость из трубочки вытекает, уровень жидкости в маленьком сосуде не меняется.
На первый взгляд может показаться, что, после того как давления в точке А выравняются, процесс должен остановиться; но это не так. Такое положение неустойчиво. Предположим, что жидкость плотностью $\rho_{1}$ втечет в трубочку на небольшую высоту $\Delta x$ (рис.); тогда давление в точке $A^{ \prime}$ со стороны жидкости плотностью $\rho_{1}$ будет больше, чем давление в точке $A^{ \prime}$ со стороны жидкости плотностью $\rho_{2}$.
Действительно, давление в точке $A^{ \prime}$ со стороны жидкости плотностью $\rho_{1}$ будет равно $p_{1} = \rho_{1}g(H + l - \Delta x)$, а со стороны жидкости плотностью $\rho_{2} - p_{2} =\rho_{2} g (h + l - \Delta x)$; разность этих давлений
$\Delta p = p_{1} - p_{2} = ( \rho_{2} - \rho_{1} )g \cdot \Delta x$
будет двигать жидкость вверх, поскольку $\rho_{1} g(H + l )= \rho_{2}g(h + l)$ - условие равновесия (см. (1)). Жидкость плотностью $\rho_{1}$ будет втекать в маленький сосуд до тех пор, пока давления сверху и снизу в точке В (см. рис.) не выравняются. Жидкость плотностью $\rho_{1}$ будет всплывать над жидкостью плотностью $\rho_{2}$ (по условию задачи они не смешиваются).
Запишем условие равенства давлений в точке В:
$\rho_{1}gH = \rho_{1} g \Delta h_{1} + \rho_{2}gh$, (2)
где $\Delta h_{1}$ - высота жидкости плотностью $\rho_{1}$, которая втекла в маленький сосуд.
Из (1) и (2) находим: $\Delta h_{1} = \frac{ \rho_{2} - \rho_{1} }{ \rho_{1} } l$, и
$\Delta m_{1} = ( \rho_{2} - \rho_{1} ) ls$.
Теперь, когда стала ясна причина перетеканий жидкостей из одного сосуда в другой, напишем уравнения равновесия в более общем случае. Предположим, что равновесие в точке В наступает в момент, когда
$\rho_{1} gH = \rho_{1} gh_{1} + \rho_{2}gh_{2}$. (3)
где $h_{1}$ - высота жидкости плотностью $\rho_{1}$ и $h_{2}$ - высота жидкости плотностью $\rho_{2}$ в маленьком сосуде (рис.). Мы уже знаем, что положение равновесия неустойчиво, и жидкость будет вытекать из маленького сосуда, пока давления в точке А не выравняются, а это значит, что
$\rho_{1} g(H + l) = \rho_{1}gh_{1} + \rho_{2}g(h_{2}^{ \prime} + l) $. (4)
Из (3) и (4) получаем: $\Delta h_{2} = h_{2} - h_{2}^{ \prime} = \frac{ \rho_{2} - \rho_{1} }{ \rho_{2} }l$, и
$\Delta m_{2} = ( \rho_{2} - \rho_{1} )ls$.
Когда давления в точке А равны, положение неустойчиво, и жидкость плотностью $\rho_{1}$ будет втекать в маленький сосуд до тех пор, пока давления в точке В не выравняются, а это значит, что
$\rho_{1} gH = \rho_{1}gh_{1}^{ \prime} + \rho_{2}gh_{2}^{ \prime}$. (5)
Из (4) и (5) получаем: $\Delta h_{3} = h_{1}^{ \prime} - h_{1} = \frac{ \rho_{2} - \rho_{1} }{ \rho_{1} }l$, и
$\Delta m_{3} = ( \rho_{2} - \rho_{1} )ls = \Delta m_{2}$.
Значит, каждый раз из маленького сосуда будут вытекать и втекать одинаковые массы жидкости
$\Delta m = ( \rho_{2} - \rho_{1} )ls$.
Заметим, что объемы жидкостей, которые втекают и вытекают из сосуда, будут разные; почему это так, подумайте самостоятельно.
