Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12452
2020-01-08 
Катер, привязанный у берега большого озера (береговая линия - прямая), неожиданно отвязался, и ветер погнал его с постоянной скоростью $v_{0} = 2,5 км/ч$ под углом $\alpha = 15^{ \circ}$ к берегу. Сможете ли вы догнать катер, если ваша скорость на берегу $v_{1} = 4 км/ч$, в воде - $v_{2} = 2 км/ч$? При какой скорости катера это вообще возможно?
Решение:
Пусть в момент обнаружения обрыва катера вы находились на берегу в точке О (см. рисунок), а катер, оторвавшись в точке Е, движется по прямой ЕF, составляющей с линией берега угол $\alpha =15^{ \circ}$, со скоростью $v_{0} = 2,5 км/ч$. Чтобы ответить на вопрос задачи, построим границу области достижимости - той области, в которой спустя время $t$ после начала вашего движения вы можете оказаться, "комбинируя" ходьбу и плавание. Эта граница (см. рисунок) представляет собой дугу АВ окружности радиусом $|OA| = |OB| = v_{2}t$ и два отрезка касательных к этой окружности - СА и DB, причем $|OC| = |OD| = v_{1}t$. Спустя время $\Delta t$ граница области достижимости займет новое положение $C^{ \prime}A^{ \prime}B^{ \prime}D^{ \prime}$, причем $|CC^{ \prime} | = |DD^{ \prime}| = v_{1} \cdot \Delta t, |AA^{ \prime}| = |BB^{ \prime} | = v_{2} \cdot \Delta t$. Легко понять, что если проекция скорости катера на направление ОА (в этом направлении распространяется со скоростью $v_{2}$ плоский участок границы области достижимости) будет больше скорости $v_{2}$, то вы никогда не догоните катер. Минимальное значение скорости катера, при которой догнать катер уже невозможно, определяется из условия (см. рисунок)
$v_{min} \cos \beta = v_{2}$, где $\beta = \phi - \alpha$.
Поскольку $\phi = arcsin \frac{ v_{2} }{v_{1} } = arcsin \frac{1}{2} = 30^{ \circ} , \cos \beta = \cos 45^{ \circ} = \frac{1}{ \sqrt{2} }$, и
$v_{min} = v_{2} \sqrt{2} \approx 2,8 км/ч$.
При движении катера со скоростью $v_{0} = 2,5 км/ч$ ($v_{0} < v_{min}$) проекция скорости катера на направление ОА меньше $v_{2}$, поэтому, как бы долго вы ни задержались на берегу, при правильной стратегии передвижения догнать катер можно (граница области достижимости обязательно нагонит катер).
Катер, привязанный у берега большого озера (береговая линия - прямая), неожиданно отвязался, и ветер погнал его с постоянной скоростью $v_{0} = 2,5 км/ч$ под углом $\alpha = 15^{ \circ}$ к берегу. Сможете ли вы догнать катер, если ваша скорость на берегу $v_{1} = 4 км/ч$, в воде - $v_{2} = 2 км/ч$? При какой скорости катера это вообще возможно?
Решение:
Пусть в момент обнаружения обрыва катера вы находились на берегу в точке О (см. рисунок), а катер, оторвавшись в точке Е, движется по прямой ЕF, составляющей с линией берега угол $\alpha =15^{ \circ}$, со скоростью $v_{0} = 2,5 км/ч$. Чтобы ответить на вопрос задачи, построим границу области достижимости - той области, в которой спустя время $t$ после начала вашего движения вы можете оказаться, "комбинируя" ходьбу и плавание. Эта граница (см. рисунок) представляет собой дугу АВ окружности радиусом $|OA| = |OB| = v_{2}t$ и два отрезка касательных к этой окружности - СА и DB, причем $|OC| = |OD| = v_{1}t$. Спустя время $\Delta t$ граница области достижимости займет новое положение $C^{ \prime}A^{ \prime}B^{ \prime}D^{ \prime}$, причем $|CC^{ \prime} | = |DD^{ \prime}| = v_{1} \cdot \Delta t, |AA^{ \prime}| = |BB^{ \prime} | = v_{2} \cdot \Delta t$. Легко понять, что если проекция скорости катера на направление ОА (в этом направлении распространяется со скоростью $v_{2}$ плоский участок границы области достижимости) будет больше скорости $v_{2}$, то вы никогда не догоните катер. Минимальное значение скорости катера, при которой догнать катер уже невозможно, определяется из условия (см. рисунок)
$v_{min} \cos \beta = v_{2}$, где $\beta = \phi - \alpha$.
Поскольку $\phi = arcsin \frac{ v_{2} }{v_{1} } = arcsin \frac{1}{2} = 30^{ \circ} , \cos \beta = \cos 45^{ \circ} = \frac{1}{ \sqrt{2} }$, и
$v_{min} = v_{2} \sqrt{2} \approx 2,8 км/ч$.
При движении катера со скоростью $v_{0} = 2,5 км/ч$ ($v_{0} < v_{min}$) проекция скорости катера на направление ОА меньше $v_{2}$, поэтому, как бы долго вы ни задержались на берегу, при правильной стратегии передвижения догнать катер можно (граница области достижимости обязательно нагонит катер).
