Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12451
2020-01-08 
Крупнейший в мире советский телескоп имеет в качестве объектива зеркало диаметром $D = 6 м$. Какое время потребуется, чтобы, сравнивая полученные на этом телескопе фотоснимки, можно было заметить взаимное вращение нашей Галактики и туманности Андромеды вокруг общего центра масс? Расстояние до Андромеды $R = 1,42 \cdot 10^{11} R_{0}$, где $R_{0}$ - радиус орбиты Земли. Массы Галактики и Андромеды равны, соответственно, $M_{Г} = 2,5 \cdot 10^{11} M_{0}, M_{A} = 3,6 \cdot 10^{11} M_{0}$, где $M_{0}$ - масса Солнца. Фотографирование ведется в видимом свете на длине волны $\lambda = 5 \cdot 10^{- 7} м$.
Решение:
Минимальное угловое расстояние между двумя объектами, при котором их можно наблюдать раздельно, определяется дифракцией и равно приблизительно $\lambda /D$. Чтобы можно было заметить, что Андромеда изменила свое положение, она должна сдвинуться именно на такой угол:
$\phi_{0} \approx \frac{ \lambda}{D} = \frac{5 \cdot 10^{-7} }{6} рад \approx 8 \cdot 10^{-8} рад$. (1)
Если период обращения Галактики и Андромеды вокруг общего центра масс равен $T$, то поворот на угол $\phi_{0}$ происходит за время
$\tau = \frac{T}{2 \pi} \phi_{0}$. (2)
Период $T$ можно найти из обобщенного (в школьном учебнике астрономии он называется уточненным) III закона Кеплера:
$\left ( \frac{T_{1} }{T_{2} } \right )^{2} \left ( \frac{M_{1} + m_{1} }{m_{2} + M_{2} } \right ) = \left ( \frac{R_{1} }{R_{2} } \right )^{3}$.
Записывая его для систем Земля - Солнце и Галактика - Андромеда и пренебрегая массой Земли, получаем:
$\left ( \frac{T }{T_{0} } \right )^{2} \left ( \frac{M_{Г} + M_{A} }{M_{0} } \right ) = \left ( \frac{R }{R_{0} } \right )^{3}$.
где $T_{0} = 1$ год (земной).
Из уравнений (1), (2) и (3) находим:
$\tau = \frac{ \lambda }{2 \pi D} T_{0} \left ( \frac{R}{R_{0} } \right )^{3/2} \left ( \frac{M_{0}}{M_{Г} + M_{A} } \right )^{1/2} \approx 10^{3}$ лет.
Крупнейший в мире советский телескоп имеет в качестве объектива зеркало диаметром $D = 6 м$. Какое время потребуется, чтобы, сравнивая полученные на этом телескопе фотоснимки, можно было заметить взаимное вращение нашей Галактики и туманности Андромеды вокруг общего центра масс? Расстояние до Андромеды $R = 1,42 \cdot 10^{11} R_{0}$, где $R_{0}$ - радиус орбиты Земли. Массы Галактики и Андромеды равны, соответственно, $M_{Г} = 2,5 \cdot 10^{11} M_{0}, M_{A} = 3,6 \cdot 10^{11} M_{0}$, где $M_{0}$ - масса Солнца. Фотографирование ведется в видимом свете на длине волны $\lambda = 5 \cdot 10^{- 7} м$.
Решение:
Минимальное угловое расстояние между двумя объектами, при котором их можно наблюдать раздельно, определяется дифракцией и равно приблизительно $\lambda /D$. Чтобы можно было заметить, что Андромеда изменила свое положение, она должна сдвинуться именно на такой угол:
$\phi_{0} \approx \frac{ \lambda}{D} = \frac{5 \cdot 10^{-7} }{6} рад \approx 8 \cdot 10^{-8} рад$. (1)
Если период обращения Галактики и Андромеды вокруг общего центра масс равен $T$, то поворот на угол $\phi_{0}$ происходит за время
$\tau = \frac{T}{2 \pi} \phi_{0}$. (2)
Период $T$ можно найти из обобщенного (в школьном учебнике астрономии он называется уточненным) III закона Кеплера:
$\left ( \frac{T_{1} }{T_{2} } \right )^{2} \left ( \frac{M_{1} + m_{1} }{m_{2} + M_{2} } \right ) = \left ( \frac{R_{1} }{R_{2} } \right )^{3}$.
Записывая его для систем Земля - Солнце и Галактика - Андромеда и пренебрегая массой Земли, получаем:
$\left ( \frac{T }{T_{0} } \right )^{2} \left ( \frac{M_{Г} + M_{A} }{M_{0} } \right ) = \left ( \frac{R }{R_{0} } \right )^{3}$.
где $T_{0} = 1$ год (земной).
Из уравнений (1), (2) и (3) находим:
$\tau = \frac{ \lambda }{2 \pi D} T_{0} \left ( \frac{R}{R_{0} } \right )^{3/2} \left ( \frac{M_{0}}{M_{Г} + M_{A} } \right )^{1/2} \approx 10^{3}$ лет.
