Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12450
2020-01-08 
В катушку может свободно втягиваться ферромагнитный сердечник массой $M = 0,01 кг$. Катушку подключили к источнику с напряжением $U = 100 В$, и через нее протек ток, показанный на графике на рисунке. Оцените начальную индуктивность катушки. Пренебрегая потерями, найдите скорость сердечника в момент $\tau = 10^{-3} с$.
Решение:
При втягивании ферромагнитного сердечника в катушку меняется индуктивность катушки. В этом случае закон электромагнитной индукции должен быть записан следующим образом:
$\frac{ d \Phi}{dt} = \frac{d(LI)}{dt} = U$.
Здесь $L$ - индуктивность катушки, зависящая от времени, $I$ - ток в катушке, который также зависит от времени. Поэтому
$\frac{d(LI)}{dt} = I \frac{dL}{dt} + L \frac{dI}{dt} = U$. (*)
В начальный период, когда сердечник еще не сдвинулся с места, можно считать, что индуктивность не меняется. Тогда $\frac{dL}{dt} = 0$, и уравнение (*) имеет вид
$L_{0} \frac{dI}{dt} = U$,
где $L_{0}$ - начальная индуктивность катушки. Из графика находим, что в этот период $\frac{dI}{dt} = 10^{6} \frac{А}{с}$. Следовательно,
$L_{0} = \frac{100 В}{10^{6} А/с } =10^{-4} Гн$.
Величина $L_{0}$ достаточно мала, чтобы в дальнейшем ее не учитывать (тем более что ток, как видно из графика, в дальнейшем меняется очень мало). Поэтому при $t > 10^{-5} с$ уравнение (*) принимает следующий вид:
$I \frac{dL}{dt} = U$.
Отсюда видно, что $L$ будет расти линейно со временем, поскольку $U = 100 B = const$ и $I = 10 A = const$:
$L = \frac{U}{I} t$.
В момент $t = \tau = 10^{-3} с$
$L_{0} = \frac{100}{10} \cdot 10^{-3} Гн = 10^{-7} Гн$.
Найдем скорость сердечника в этот момент. Пренебрегая потерями, запишем закон сохранения энергии:
$\frac{mv_{1}^{2} }{2} + L_{1} \frac{I^{2} }{2} = IUt$,
где $IU \tau$ - работа источника за время $\tau = 10^{-3} с, L_{1}I^{2}/2$ - электромагнитная энергия катушки, $mv_{1}^{2}/2$ - кинетическая энергия ферромагнитного сердечника. Отсюда находим $v$:
$v = \sqrt{ \frac{2IU \tau - L_{1}I^{2}}{m}} = 10 м/с$.
По решению этой задачи необходимо сделать некоторые замечания. Эта задача относится к так называемым "оценочным" задачам, в которых, как правило, некоторые величины задаются приблизительно или их надо найти из графика, другие необходимо найти приближенно, пренебрегая какими-то малыми величинами. В данной задаче мы не учитывали активное сопротивление источника, потери в сердечнике на токи Фуко; не учитывали, что ток в сердечнике после первого скачка не будет постоянным во времени, а будет немного меняться; ну и конечно, мы не рассматривали переходный процесс от малой индуктивности к большой. Точное решение этой задачи достаточно сложно; однако полученные нами оценки близки к реальным величинам.
В катушку может свободно втягиваться ферромагнитный сердечник массой $M = 0,01 кг$. Катушку подключили к источнику с напряжением $U = 100 В$, и через нее протек ток, показанный на графике на рисунке. Оцените начальную индуктивность катушки. Пренебрегая потерями, найдите скорость сердечника в момент $\tau = 10^{-3} с$.
Решение:
При втягивании ферромагнитного сердечника в катушку меняется индуктивность катушки. В этом случае закон электромагнитной индукции должен быть записан следующим образом:
$\frac{ d \Phi}{dt} = \frac{d(LI)}{dt} = U$.
Здесь $L$ - индуктивность катушки, зависящая от времени, $I$ - ток в катушке, который также зависит от времени. Поэтому
$\frac{d(LI)}{dt} = I \frac{dL}{dt} + L \frac{dI}{dt} = U$. (*)
В начальный период, когда сердечник еще не сдвинулся с места, можно считать, что индуктивность не меняется. Тогда $\frac{dL}{dt} = 0$, и уравнение (*) имеет вид
$L_{0} \frac{dI}{dt} = U$,
где $L_{0}$ - начальная индуктивность катушки. Из графика находим, что в этот период $\frac{dI}{dt} = 10^{6} \frac{А}{с}$. Следовательно,
$L_{0} = \frac{100 В}{10^{6} А/с } =10^{-4} Гн$.
Величина $L_{0}$ достаточно мала, чтобы в дальнейшем ее не учитывать (тем более что ток, как видно из графика, в дальнейшем меняется очень мало). Поэтому при $t > 10^{-5} с$ уравнение (*) принимает следующий вид:
$I \frac{dL}{dt} = U$.
Отсюда видно, что $L$ будет расти линейно со временем, поскольку $U = 100 B = const$ и $I = 10 A = const$:
$L = \frac{U}{I} t$.
В момент $t = \tau = 10^{-3} с$
$L_{0} = \frac{100}{10} \cdot 10^{-3} Гн = 10^{-7} Гн$.
Найдем скорость сердечника в этот момент. Пренебрегая потерями, запишем закон сохранения энергии:
$\frac{mv_{1}^{2} }{2} + L_{1} \frac{I^{2} }{2} = IUt$,
где $IU \tau$ - работа источника за время $\tau = 10^{-3} с, L_{1}I^{2}/2$ - электромагнитная энергия катушки, $mv_{1}^{2}/2$ - кинетическая энергия ферромагнитного сердечника. Отсюда находим $v$:
$v = \sqrt{ \frac{2IU \tau - L_{1}I^{2}}{m}} = 10 м/с$.
По решению этой задачи необходимо сделать некоторые замечания. Эта задача относится к так называемым "оценочным" задачам, в которых, как правило, некоторые величины задаются приблизительно или их надо найти из графика, другие необходимо найти приближенно, пренебрегая какими-то малыми величинами. В данной задаче мы не учитывали активное сопротивление источника, потери в сердечнике на токи Фуко; не учитывали, что ток в сердечнике после первого скачка не будет постоянным во времени, а будет немного меняться; ну и конечно, мы не рассматривали переходный процесс от малой индуктивности к большой. Точное решение этой задачи достаточно сложно; однако полученные нами оценки близки к реальным величинам.
