Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1245
2016-10-20 
В схеме, изображённой на рисунке, конденсаторы ёмкостью $C_{1} = C_{2} = C$ первоначально не заряжены, а диоды идеальные. Ключ К начинают циклически переключать, замыкая его вначале в положение 1, а потом — в положение 2. Затем цикл переключений 1-2 повторяется, и так далее. Каждое из переключений производится после того, как токи в цепи прекращаются. Какое количество п таких циклов переключений 1-2 надо произвести, чтобы заряд на конденсаторе $C_{2}$ отличался от своего установившегося (при $n \rightarrow \infty$) значения не более, чем на 0,1%?
Решение:
Эквивалентные схемы для положений ключа 1 и 2 изображены на рисунке. Будем обозначать заряды конденсаторов и напряжения на них через $q_{ij}$ и $U_{ij}$, причём первый индекс $i$ будет обозначать номер конденсатора, а второй индекс $j$ — номер положения ключа.
Из эквивалентных схем следует, что в положении 1 конденсатор $C_{1}$ всякий раз заряжается до напряжения $U_{11} = \mathcal{E}$, приобретая заряд $q_{11} = C \mathcal{E}$. Кроме того, в положении 2 заряд, находящийся на проводнике между конденсаторами $C_{1}$ и $C_{2}$, сохраняется. Рассмотрим последовательно несколько циклов переключений 1-2.
Первый цикл: В положении ключа 1 конденсатор $C_{2}$ не заряжен, $q_{21} = 0, U_{21} = 0$. После переключения ключа в положение 2 происходит перезарядка конденсаторов $C_{1}$ и $C_{2}$ до таких напряжений $U_{12}$ и $U_{22}$, что $U_{22} — U_{12} =\mathcal{E}$, где положительными считаются такие величины $U_{12}$, которые совпадают по полярности с $U_{11}$, и такие $U_{22}$, полярность которых совпадает с той, что показана на рисунке в положении 2. Заряды при этом связаны следующими соотношениями:
$q_{12} = CU_{12}, q_{22} = CU_{22}, q_{22} - q_{12} = C \mathcal{E}, q_{12} + q_{22} = q_{11} + q_{21}$
(последнее соотношение следует из сохранения в процессе перезарядки заряда, находящегося на проводнике между конденсаторами $C_{1}$ и $C_{2}$). Из этой системы уравнений получаем:
$q_{22} = \frac{q_{11}+q_{21} + C \mathcal{E}}{2} = \frac{C \mathcal{E} + C \mathcal{E} + q_{21}}{2} = C \mathcal{E} + \frac{q_{21}}{2} = C \mathcal{E}$
для первого цикла, так как заряд $q_{21}$ был равен нулю. Значение $q_{22}$ после первого цикла равно $q_{21}$ для второго цикла, и так далее. Поэтому после второго цикла
$q_{22} = C \mathcal{E} + \frac{C \mathcal{E}}{2} = \frac{3}{2} C \mathcal{E}$,
после третьего
$q_{22} = C \mathcal{E} + \frac{3}{4} C \mathcal{E} = \frac{7}{4} C \mathcal{E}$,
после четвертого
$q_{22} = C \mathcal{E} + \frac{7}{8} C \mathcal{E} = \frac{15}{8} C \mathcal{E}$,
и так далее.
Таким образом, после каждого цикла номера $n$ заряд $q_{22}$ возрастает на $\Delta q_{22} = \frac{C \mathcal{E}}{2^{n-1}}$, стремясь, очевидно, к установившемуся значению $2C \mathcal{E}$. При этом после $n$-го цикла $q_{22}$ отличается от $2C \mathcal{E}$ на величину $\Delta q_{22} = \frac{C \mathcal{E}}{2^{n-1}}$. По условию это отличие должно быть меньше или равна 0,1%:
$\frac{ \Delta q_{22}}{2C \mathcal{E}} = \frac{C \mathcal{E}}{2 \cdot 2^{n-1} C \mathcal{E}} = \frac{1}{2^{n}} \leq 0,001$,
откуда $2^{n} \geq 1000$. Этому неравенству удовлетворяют $n \geq 10$, когда $2^{n} \geq 2^{10} = 1024$.
Следовательно, для того, чтобы заряд на конденсаторе $C_{2}$ отличался от своего установившегося значения не более, чем на 0,1%, нужно произвести не менее $n = 10$ циклов переключений.
В схеме, изображённой на рисунке, конденсаторы ёмкостью $C_{1} = C_{2} = C$ первоначально не заряжены, а диоды идеальные. Ключ К начинают циклически переключать, замыкая его вначале в положение 1, а потом — в положение 2. Затем цикл переключений 1-2 повторяется, и так далее. Каждое из переключений производится после того, как токи в цепи прекращаются. Какое количество п таких циклов переключений 1-2 надо произвести, чтобы заряд на конденсаторе $C_{2}$ отличался от своего установившегося (при $n \rightarrow \infty$) значения не более, чем на 0,1%?
Решение:
Эквивалентные схемы для положений ключа 1 и 2 изображены на рисунке. Будем обозначать заряды конденсаторов и напряжения на них через $q_{ij}$ и $U_{ij}$, причём первый индекс $i$ будет обозначать номер конденсатора, а второй индекс $j$ — номер положения ключа.
Из эквивалентных схем следует, что в положении 1 конденсатор $C_{1}$ всякий раз заряжается до напряжения $U_{11} = \mathcal{E}$, приобретая заряд $q_{11} = C \mathcal{E}$. Кроме того, в положении 2 заряд, находящийся на проводнике между конденсаторами $C_{1}$ и $C_{2}$, сохраняется. Рассмотрим последовательно несколько циклов переключений 1-2.
Первый цикл: В положении ключа 1 конденсатор $C_{2}$ не заряжен, $q_{21} = 0, U_{21} = 0$. После переключения ключа в положение 2 происходит перезарядка конденсаторов $C_{1}$ и $C_{2}$ до таких напряжений $U_{12}$ и $U_{22}$, что $U_{22} — U_{12} =\mathcal{E}$, где положительными считаются такие величины $U_{12}$, которые совпадают по полярности с $U_{11}$, и такие $U_{22}$, полярность которых совпадает с той, что показана на рисунке в положении 2. Заряды при этом связаны следующими соотношениями:
$q_{12} = CU_{12}, q_{22} = CU_{22}, q_{22} - q_{12} = C \mathcal{E}, q_{12} + q_{22} = q_{11} + q_{21}$
(последнее соотношение следует из сохранения в процессе перезарядки заряда, находящегося на проводнике между конденсаторами $C_{1}$ и $C_{2}$). Из этой системы уравнений получаем:
$q_{22} = \frac{q_{11}+q_{21} + C \mathcal{E}}{2} = \frac{C \mathcal{E} + C \mathcal{E} + q_{21}}{2} = C \mathcal{E} + \frac{q_{21}}{2} = C \mathcal{E}$
для первого цикла, так как заряд $q_{21}$ был равен нулю. Значение $q_{22}$ после первого цикла равно $q_{21}$ для второго цикла, и так далее. Поэтому после второго цикла
$q_{22} = C \mathcal{E} + \frac{C \mathcal{E}}{2} = \frac{3}{2} C \mathcal{E}$,
после третьего
$q_{22} = C \mathcal{E} + \frac{3}{4} C \mathcal{E} = \frac{7}{4} C \mathcal{E}$,
после четвертого
$q_{22} = C \mathcal{E} + \frac{7}{8} C \mathcal{E} = \frac{15}{8} C \mathcal{E}$,
и так далее.
Таким образом, после каждого цикла номера $n$ заряд $q_{22}$ возрастает на $\Delta q_{22} = \frac{C \mathcal{E}}{2^{n-1}}$, стремясь, очевидно, к установившемуся значению $2C \mathcal{E}$. При этом после $n$-го цикла $q_{22}$ отличается от $2C \mathcal{E}$ на величину $\Delta q_{22} = \frac{C \mathcal{E}}{2^{n-1}}$. По условию это отличие должно быть меньше или равна 0,1%:
$\frac{ \Delta q_{22}}{2C \mathcal{E}} = \frac{C \mathcal{E}}{2 \cdot 2^{n-1} C \mathcal{E}} = \frac{1}{2^{n}} \leq 0,001$,
откуда $2^{n} \geq 1000$. Этому неравенству удовлетворяют $n \geq 10$, когда $2^{n} \geq 2^{10} = 1024$.
Следовательно, для того, чтобы заряд на конденсаторе $C_{2}$ отличался от своего установившегося значения не более, чем на 0,1%, нужно произвести не менее $n = 10$ циклов переключений.
