Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12449
2020-01-08 
Торец длинного стеклянного цилиндра радиуса $R$ закрыт светонепроницаемой пластинкой, в которой имеется вертикальная щель; ширину $d$ щели можно менять. На пластинку под углом $\alpha$ падает пучок параллельных световых лучей (рис.); освещенность пластинки $E$. У противоположного торца цилиндра находится фотоэлемент. Построить график зависимости светового потока, принимаемого фотоэлементом, от ширины щели $d$. Показатель преломления стекла $n$.
Решение:
После преломления на торце цилиндра лучи будут распространяться в стекле под углом $\beta$ к оси системы таким, что
$\frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta} = n$.
Рассмотрим лучи, лежащие в одной вертикальной плоскости на расстоянии $x$ от оси цилиндра (рис.). Точки, в которых все эти лучи будут падать на границу стекло - воздух, лежат на одной прямой - на образующей $AB$,- и условия преломления и отражения этих лучей на границе будут одинаковыми. Вычислим угол $\gamma$, под которым лучи падают на границу $AB$, и сравним его с предельным углом полного внутреннего отражения.
Рассмотрим ход луча $CD$, лежащего в плоскости $AA^{ \prime}B^{ \prime}B$. Проведем через точку $C$ прямую, параллельную прямой $AB$ (и оси цилиндра), и отложим на ней отрезок $|CC^{ \prime} | = |AD| = l$ (рис.). По теореме косинусов из треугольника $CO^{ \prime}D$ имеем:
$| CO^{ \prime} |^{2} = |CD|^{2} + |DO^{ \prime}|^{2} - 2|CD| |DO^{ \prime}| \cos \gamma$,
или
$l^{2} + x^{2} = \frac{l^{2} }{ \cos^{2} \beta } + R^{2} - 2 \frac{lR}{ \cos \beta } \cos \gamma$. (1)
Из треугольника $C^{ \prime}O^{ \prime}D$ имеем:
$|C^{ \prime}D |^{2} + |C^{ \prime} O^{ \prime}|^{2} = |O^{ \prime}D |^{2}$,
или
$l^{2} tg^{2} \beta + x^{2} = R^{2}$. (2)
Из (1) и (2) находим:
$\cos \gamma = \frac{ \sqrt{R^{2} - x^{2} } }{R} \sin \beta = \frac{ \sqrt{R^{2} - x^{2} } }{R} \frac{ \sin \alpha}{n}$. (3)
Физический смысл (3) достаточно ясен - с ростом $x$ величина $\cos \gamma$ уменьшается, следовательно, $\sin \gamma$ растет, и при некотором $x_{0}$ угол $\gamma$ достигает значения предельного угла полного внутреннего отражения $\gamma_{0} = arcsin \frac{1}{n}$. Определим, с какого $x_{0}$ выполняется условие $\sin \gamma_{0} = \frac{1}{n}$:
$\frac{1}{n} = \sqrt{1 - \cos^{2} \gamma_{0} } = \sqrt{1 - \frac{(R^{2} - x_{0}^{2} ) }{R^{2}} \frac{ \sin^{2} \alpha }{n^{2} } }$,
откуда
$x_{0}^{2} = R^{2} \left ( \frac{1 + \sin^{2} \alpha - n^{2} }{ \sin^{2} \alpha } \right )$. (4)
Итак, для всех лучей, падающих на торец цилиндра на расстоянии $x \geq x_{0} = \frac{R}{ \sin \alpha} \sqrt{1 + \sin^{2} \alpha - n^{2} }$ от вертикального диаметра торца, при первом падении луча на боковую поверхность цилиндра выполняется условие полного внутреннего отражения. (Из (4), в частности, следует, что при $n^{2} = 1 + \sin^{2} \alpha$ это условие выполняется для всех лучей ($x_{0} = 0$).)
Если при первом падении луча на границу стекло - воздух он испытывает полное внутреннее отражение, то при всех последующих падениях на границу он также будет испытывать полное внутреннее отражение; если же при первом падении на эту границу условие полного внутреннего отражения не выполняется, то и в дальнейшем оно не будет выполняться. (Покажите это самостоятельно.) Таким образом, в отсутствие светонепроницаемой пластины на фотоэлемент попадают лучи, которые падают на входной торец в области, заштрихованной на рисунке а. При наличии пластинки со щелью лучи не попадают в фотоэлемент, если ширина щели $d < 2x_{0}$. Если $2R \geq d > 2x_{0}$, световой поток, принимаемый фотоэлементом, определяется лучами, которые падают на входной торец в области, заштрихованной на рисунке б. Величина потока пропорциональна площади заштрихованной области.
Итак: при $d \leq 2x_{0}$ $\Phi = 0$; при $2R \geq d \geq 2x_{0}$
$\Phi = E \left ( S_{0} - 2R^{2} arccos \frac{d}{2R} + d \sqrt{ R^{2} - \frac{d^{2} }{4} } \right )$,
где
$S_{0} = 2R^{2} arccos \frac{x_{0} }{R} -2x_{0} \sqrt{R^{2} - x_{0}^{2}} = const$
при данных значениях $R, \alpha$ и $n$ (см. (4)).
Торец длинного стеклянного цилиндра радиуса $R$ закрыт светонепроницаемой пластинкой, в которой имеется вертикальная щель; ширину $d$ щели можно менять. На пластинку под углом $\alpha$ падает пучок параллельных световых лучей (рис.); освещенность пластинки $E$. У противоположного торца цилиндра находится фотоэлемент. Построить график зависимости светового потока, принимаемого фотоэлементом, от ширины щели $d$. Показатель преломления стекла $n$.
Решение:
После преломления на торце цилиндра лучи будут распространяться в стекле под углом $\beta$ к оси системы таким, что
$\frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta} = n$.
Рассмотрим лучи, лежащие в одной вертикальной плоскости на расстоянии $x$ от оси цилиндра (рис.). Точки, в которых все эти лучи будут падать на границу стекло - воздух, лежат на одной прямой - на образующей $AB$,- и условия преломления и отражения этих лучей на границе будут одинаковыми. Вычислим угол $\gamma$, под которым лучи падают на границу $AB$, и сравним его с предельным углом полного внутреннего отражения.
Рассмотрим ход луча $CD$, лежащего в плоскости $AA^{ \prime}B^{ \prime}B$. Проведем через точку $C$ прямую, параллельную прямой $AB$ (и оси цилиндра), и отложим на ней отрезок $|CC^{ \prime} | = |AD| = l$ (рис.). По теореме косинусов из треугольника $CO^{ \prime}D$ имеем:
$| CO^{ \prime} |^{2} = |CD|^{2} + |DO^{ \prime}|^{2} - 2|CD| |DO^{ \prime}| \cos \gamma$,
или
$l^{2} + x^{2} = \frac{l^{2} }{ \cos^{2} \beta } + R^{2} - 2 \frac{lR}{ \cos \beta } \cos \gamma$. (1)
Из треугольника $C^{ \prime}O^{ \prime}D$ имеем:
$|C^{ \prime}D |^{2} + |C^{ \prime} O^{ \prime}|^{2} = |O^{ \prime}D |^{2}$,
или
$l^{2} tg^{2} \beta + x^{2} = R^{2}$. (2)
Из (1) и (2) находим:
$\cos \gamma = \frac{ \sqrt{R^{2} - x^{2} } }{R} \sin \beta = \frac{ \sqrt{R^{2} - x^{2} } }{R} \frac{ \sin \alpha}{n}$. (3)
Физический смысл (3) достаточно ясен - с ростом $x$ величина $\cos \gamma$ уменьшается, следовательно, $\sin \gamma$ растет, и при некотором $x_{0}$ угол $\gamma$ достигает значения предельного угла полного внутреннего отражения $\gamma_{0} = arcsin \frac{1}{n}$. Определим, с какого $x_{0}$ выполняется условие $\sin \gamma_{0} = \frac{1}{n}$:
$\frac{1}{n} = \sqrt{1 - \cos^{2} \gamma_{0} } = \sqrt{1 - \frac{(R^{2} - x_{0}^{2} ) }{R^{2}} \frac{ \sin^{2} \alpha }{n^{2} } }$,
откуда
$x_{0}^{2} = R^{2} \left ( \frac{1 + \sin^{2} \alpha - n^{2} }{ \sin^{2} \alpha } \right )$. (4)
Итак, для всех лучей, падающих на торец цилиндра на расстоянии $x \geq x_{0} = \frac{R}{ \sin \alpha} \sqrt{1 + \sin^{2} \alpha - n^{2} }$ от вертикального диаметра торца, при первом падении луча на боковую поверхность цилиндра выполняется условие полного внутреннего отражения. (Из (4), в частности, следует, что при $n^{2} = 1 + \sin^{2} \alpha$ это условие выполняется для всех лучей ($x_{0} = 0$).)
Если при первом падении луча на границу стекло - воздух он испытывает полное внутреннее отражение, то при всех последующих падениях на границу он также будет испытывать полное внутреннее отражение; если же при первом падении на эту границу условие полного внутреннего отражения не выполняется, то и в дальнейшем оно не будет выполняться. (Покажите это самостоятельно.) Таким образом, в отсутствие светонепроницаемой пластины на фотоэлемент попадают лучи, которые падают на входной торец в области, заштрихованной на рисунке а. При наличии пластинки со щелью лучи не попадают в фотоэлемент, если ширина щели $d < 2x_{0}$. Если $2R \geq d > 2x_{0}$, световой поток, принимаемый фотоэлементом, определяется лучами, которые падают на входной торец в области, заштрихованной на рисунке б. Величина потока пропорциональна площади заштрихованной области.
Итак: при $d \leq 2x_{0}$ $\Phi = 0$; при $2R \geq d \geq 2x_{0}$
$\Phi = E \left ( S_{0} - 2R^{2} arccos \frac{d}{2R} + d \sqrt{ R^{2} - \frac{d^{2} }{4} } \right )$,
где
$S_{0} = 2R^{2} arccos \frac{x_{0} }{R} -2x_{0} \sqrt{R^{2} - x_{0}^{2}} = const$
при данных значениях $R, \alpha$ и $n$ (см. (4)).
