Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12445
2020-01-08 
Стержень $AB$ помещен внутрь цилиндра. В точке $A$ стержень закреплен шарнирно, в точке $C$ он опирается на верхнюю кромку цилиндра, точки $A$ и $C$ лежат в вертикальной плоскости, проходящей через ось цилиндра (рис.); угол, который составляет стержень с горизонтом, равен $\alpha$. Стержень смещают по верхней кромке так, что он касается ее в точке $C^{ \prime}$ и угол $C^{ \prime}OC$ равен $\phi$. При каком минимальном коэффициенте трения стержень будет находиться в этом положении в равновесии?
Решение:
Пусть стержень находится в равновесии в новом положении, когда он касается цилиндра в точке $C^{ \prime}$. На стержень действуют сила тяжести, сила реакции шарнира в точке $A$, сила $\bar{N}$ нормальной реакции цилиндра в точке $C^{ \prime}$ и сила трения $\bar{f}$. Условие равновесия стержня - равенство нулю геометрической суммы этих сил и равенство нулю суммы моментов сил.
Из всех уравнений равновесия стержня рассмотрим одно - равенство нулю суммы моментов сил относительно вертикальной оси, проходящей через точку $A$ (относительно этой оси момент силы реакции шарнира и момент силы тяжести равны нулю). Нетрудно понять, что это условие сводится к тому, что суммарный вектор сил $\bar{N}$ и $\bar{f}$ лежит в вертикальной плоскости, проходящей через стержень (нас впоследствии будет интересовать только горизонтальная составляющая этой суммарной силы). Определим теперь направления векторов $\bar{N}$ и $\bar{f}$ и значения проекций этих векторов на горизонтальную плоскость - $N_{x}, N_{y}, f_{x}$ и $f_{y}$. Оси координат $X, Y$ и $Z$ направим из точки $C^{ \prime}$ соответственно в центр окружности $O$, по касательной к окружности и вертикально вверх (рис.).
Введем три единичных вектора $\vec{n}_{l}, \vec{n}_{N}$ и $\vec{n}_{f}$, которые направлены соответственно вдоль стержня, вдоль силы $\vec{N}$ и вдоль силы $\vec{f}$. Пусть угол, который образует вектор $\vec{n}_{l}$ с горизонтом, равен $\alpha^{ \prime}$. Так как в результате поворота стержня вертикальная плоскость, в которой он лежит, поворачивается на угол $\phi /2$, то нетрудно показать, что
$tg \alpha^{ \prime} = \frac{tg \alpha}{ \cos ( \phi /2)}$.
Выразим каждый из векторов $\vec{n}_{l}, \vec{n}_{N}$ и $\vec{n}_{f}$ через единичные векторы $\vec{n}_{x}, \vec{n}_{y}$ и $\vec{n}_{z}$. Начнем с $\vec{n}_{l}$:
$\vec{n}_{l} = \vec{n}_{x} \left ( - \cos \alpha^{ \prime} \cos \frac{ \phi}{2} \right ) + \vec{n}_{y} \cos \alpha^{ \prime} \sin \frac{ \phi}{2} + \vec{n}_{z} \sin \alpha^{ \prime}$.
Сила $\vec{N}$ перпендикулярна стержню и касательной к окружности в точке $C^{ \prime}$ (кромке цилиндра), откуда следует, что вектор $\vec{n}_{N}$ перпендикулярен вектору $\vec{n}_{y}$, то есть
$\vec{n}_{N} = \vec{n}_{x} \sin \gamma + \vec{n}_{z} \cos \gamma$, (*)
а также вектору $\vec{n}_{l}$. Отсюда получим соотношение между углами $\gamma$ и $\alpha^{ \prime}$ в виде
$tg \gamma = \frac{ tg \alpha^{ \prime}}{ \cos ( \pi /2)}$.
Чтобы определить направление вектора $\vec{n}_{l}$, учтем, что он перпендикулярен и вектору и вектору $\vec{n}_{N}$. После несложных выкладок получим
$\vec{n}_{l} = \vec{n}_{x} \left ( \cos \gamma \cos \alpha^{ \prime} \sin -\frac{ \phi}{2} \right ) + \vec{n}_{y} \left ( - \sin \gamma \sin \alpha^{ \prime} - \cos \gamma \cos \alpha^{ \prime} \cos \frac{ \phi}{2} \right ) + \vec{n}_{z} \sin \gamma \cos \alpha^{ \prime} \sin \frac{ \phi}{2}$. (**)
Из уравнений (*) и (**) следует, что
$N_{x} = N \sin \gamma, N_{y} = 0$,
$f_{x} = f \left ( - \cos \gamma \cos \alpha^{ \prime} \sin \frac{ \phi}{2} \right )$,
$f_{y} = f \left ( - \sin \gamma \sin \alpha^{ \prime} - \cos \gamma \cos \alpha^{ \prime} \cos \frac{ \phi }{2} \right )$.
Как уже было отмечено, уравнение моментов сил сводится к тому, что, в частности, горизонтальная проекция суммы сил $\bar{N}$ и $\bar{f}$ должна лежать в плоскости стержня, то есть
$f_{x} \sin \frac{ \phi}{2} + N_{x} \sin \frac{ \phi}{2} + f_{y} \cos \frac{ \phi}{2} = 0$.
Минимальное значение коэффициента трения $k_{min}$ определяется соотношением $k_{min} N = f$. Тогда окончательно получим
$k_{min} = \frac{tg \phi / 2}{ \sqrt{1 + ctg^{2} \alpha \cos^{2} ( \phi /2) } }$.
Стержень $AB$ помещен внутрь цилиндра. В точке $A$ стержень закреплен шарнирно, в точке $C$ он опирается на верхнюю кромку цилиндра, точки $A$ и $C$ лежат в вертикальной плоскости, проходящей через ось цилиндра (рис.); угол, который составляет стержень с горизонтом, равен $\alpha$. Стержень смещают по верхней кромке так, что он касается ее в точке $C^{ \prime}$ и угол $C^{ \prime}OC$ равен $\phi$. При каком минимальном коэффициенте трения стержень будет находиться в этом положении в равновесии?
Решение:
Пусть стержень находится в равновесии в новом положении, когда он касается цилиндра в точке $C^{ \prime}$. На стержень действуют сила тяжести, сила реакции шарнира в точке $A$, сила $\bar{N}$ нормальной реакции цилиндра в точке $C^{ \prime}$ и сила трения $\bar{f}$. Условие равновесия стержня - равенство нулю геометрической суммы этих сил и равенство нулю суммы моментов сил.
Из всех уравнений равновесия стержня рассмотрим одно - равенство нулю суммы моментов сил относительно вертикальной оси, проходящей через точку $A$ (относительно этой оси момент силы реакции шарнира и момент силы тяжести равны нулю). Нетрудно понять, что это условие сводится к тому, что суммарный вектор сил $\bar{N}$ и $\bar{f}$ лежит в вертикальной плоскости, проходящей через стержень (нас впоследствии будет интересовать только горизонтальная составляющая этой суммарной силы). Определим теперь направления векторов $\bar{N}$ и $\bar{f}$ и значения проекций этих векторов на горизонтальную плоскость - $N_{x}, N_{y}, f_{x}$ и $f_{y}$. Оси координат $X, Y$ и $Z$ направим из точки $C^{ \prime}$ соответственно в центр окружности $O$, по касательной к окружности и вертикально вверх (рис.).
Введем три единичных вектора $\vec{n}_{l}, \vec{n}_{N}$ и $\vec{n}_{f}$, которые направлены соответственно вдоль стержня, вдоль силы $\vec{N}$ и вдоль силы $\vec{f}$. Пусть угол, который образует вектор $\vec{n}_{l}$ с горизонтом, равен $\alpha^{ \prime}$. Так как в результате поворота стержня вертикальная плоскость, в которой он лежит, поворачивается на угол $\phi /2$, то нетрудно показать, что
$tg \alpha^{ \prime} = \frac{tg \alpha}{ \cos ( \phi /2)}$.
Выразим каждый из векторов $\vec{n}_{l}, \vec{n}_{N}$ и $\vec{n}_{f}$ через единичные векторы $\vec{n}_{x}, \vec{n}_{y}$ и $\vec{n}_{z}$. Начнем с $\vec{n}_{l}$:
$\vec{n}_{l} = \vec{n}_{x} \left ( - \cos \alpha^{ \prime} \cos \frac{ \phi}{2} \right ) + \vec{n}_{y} \cos \alpha^{ \prime} \sin \frac{ \phi}{2} + \vec{n}_{z} \sin \alpha^{ \prime}$.
Сила $\vec{N}$ перпендикулярна стержню и касательной к окружности в точке $C^{ \prime}$ (кромке цилиндра), откуда следует, что вектор $\vec{n}_{N}$ перпендикулярен вектору $\vec{n}_{y}$, то есть
$\vec{n}_{N} = \vec{n}_{x} \sin \gamma + \vec{n}_{z} \cos \gamma$, (*)
а также вектору $\vec{n}_{l}$. Отсюда получим соотношение между углами $\gamma$ и $\alpha^{ \prime}$ в виде
$tg \gamma = \frac{ tg \alpha^{ \prime}}{ \cos ( \pi /2)}$.
Чтобы определить направление вектора $\vec{n}_{l}$, учтем, что он перпендикулярен и вектору и вектору $\vec{n}_{N}$. После несложных выкладок получим
$\vec{n}_{l} = \vec{n}_{x} \left ( \cos \gamma \cos \alpha^{ \prime} \sin -\frac{ \phi}{2} \right ) + \vec{n}_{y} \left ( - \sin \gamma \sin \alpha^{ \prime} - \cos \gamma \cos \alpha^{ \prime} \cos \frac{ \phi}{2} \right ) + \vec{n}_{z} \sin \gamma \cos \alpha^{ \prime} \sin \frac{ \phi}{2}$. (**)
Из уравнений (*) и (**) следует, что
$N_{x} = N \sin \gamma, N_{y} = 0$,
$f_{x} = f \left ( - \cos \gamma \cos \alpha^{ \prime} \sin \frac{ \phi}{2} \right )$,
$f_{y} = f \left ( - \sin \gamma \sin \alpha^{ \prime} - \cos \gamma \cos \alpha^{ \prime} \cos \frac{ \phi }{2} \right )$.
Как уже было отмечено, уравнение моментов сил сводится к тому, что, в частности, горизонтальная проекция суммы сил $\bar{N}$ и $\bar{f}$ должна лежать в плоскости стержня, то есть
$f_{x} \sin \frac{ \phi}{2} + N_{x} \sin \frac{ \phi}{2} + f_{y} \cos \frac{ \phi}{2} = 0$.
Минимальное значение коэффициента трения $k_{min}$ определяется соотношением $k_{min} N = f$. Тогда окончательно получим
$k_{min} = \frac{tg \phi / 2}{ \sqrt{1 + ctg^{2} \alpha \cos^{2} ( \phi /2) } }$.
