Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12442
2020-01-08 
Тонкий однородный стержень, который может свободно вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через конец стержня, неподвижно висит над водой (рис.): длина стержня $l$, плотность материала $\rho$ ($\rho$ меньше плотности воды $\rho_{0}$). Медленно опуская ось, стержень погружают в воду. Найдите зависимость между углом отклонения стержня от вертикали и расстоянием от оси до поверхности воды, постройте график этой зависимости.
Решение:
В процессе погружения на стержень действуют три силы: сила тяжести, сила Архимеда и сила реакции со стороны оси. При медленном погружении при любом значении расстояния $x$ от оси до поверхности воды стержень будет находиться в положении равновесия.
В качестве условия равновесия воспользуемся равенством нулю суммарного момента сил относительно оси вращения. Поскольку момент $M_{A}$ силы Архимеда до начала погружения оси ($x > 0$) и после него ($x < 0$) выражается разными формулами, следует рассмотреть эти стадии отдельно.
I. $x > 0$ (см. рис.). Момент силы тяжести равен
$M_{т} = f_{т} \cdot d_{т} = \rho Slg \cdot \frac{l}{2} \sin \alpha = \frac{1}{2} \rho Sl^{2} g \sin \alpha$
($S$ - площадь поперечного сечения стержня); момент силы Архимеда -
$M_{A} = f_{A} \cdot d_{A} = \rho_{0} S \left ( l - \frac{x}{ \cos \alpha} \right ) g \cdot \frac{1}{2} \left ( l + \frac{x}{ \cos \alpha} \right ) \sin \alpha = \frac{1}{2} \rho_{0}S \left ( l^{2} - \frac{x^{2}}{ \cos^{2} \alpha } \right ) g \sin \alpha$.
Будем считать момент силы тяжести положительным; тогда момент силы Архимеда отрицателен (поскольку он стремится повернуть стержень в противоположном направлении). Тогда условие равновесия запишется в виде
$M = M_{т} + M_{A} = \frac{1}{2} \rho Sl^{2} \sin \alpha - \frac{1}{2} \rho_{0}S \left ( l^{2} - \frac{x^{2} }{ \cos^{2} \alpha } \right ) g \sin \alpha = 0 \Rightarrow \sin \alpha \left ( \frac{x^{2} }{ \cos^{2} \alpha } - \left ( 1 - \frac{ \rho }{ \rho_{0} } \right ) l^{2} \right ) = 0$.
Это условие выполняется при
1) $\sin \alpha = 0$,
2) $\cos \alpha = \frac{x}{l} \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{ \rho}{ \rho_{0} } } }$.
Физический смысл при заданных в задаче условиях имеют решения:
1) $\alpha = 0$ - существует при любых $x \geq 0$,
2) $\alpha = arccos \left ( \frac{x}{l} \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{ \rho}{ \rho_{0} } } } \right )$ - существует при $l \sqrt{1 - \frac{ \rho}{ \rho_{0} } } \geq x \geq 0$.
Исследуем на устойчивость первое положение равновесия $\alpha = 0$, соответствующее вертикальному положению стержня. При малом отклонении от этого положения (угол $\alpha$ мал, так что $\sin \alpha \approx \alpha$ и $\cos \alpha \approx 1$) момент сил равен
$M \approx \frac{1}{2} \rho Sl^{2} g \alpha - \frac{1}{2} \rho_{0}S (l^{2} -x^{2} ) g \alpha = \frac{1}{2} \rho_{0} Sg \alpha \left ( x^{2} - l^{2} \left ( 1 - \frac{ \rho}{ \rho_{0} } \right ) \right )$.
При $x > l \sqrt{1 - \frac{ \rho}{ \rho_{0}}}$ этот момент положителен, то есть поворачивает стержень в том же направлении, что и момент силы тяжести, - силы возвращают стержень в положение равновесия. Следовательно, пока $x > l \sqrt{ 1 - \frac{ \rho}{ \rho_{0} } }$, равновесие при $\alpha = 0$ устойчиво. При $x < l \sqrt{1 - \frac{ \rho}{ \rho_{0} }}$ момент $M < 0$ - положение равновесия $\alpha = 0$ становится неустойчивым. Ясно, что в этом случае будет устойчиво второе положение равновесия (2)), поскольку существование устойчивого равновесия очевидно, а иных положений равновесия, кроме 1) и 2), нет.
Таким образом, по мере погружения стержень сначала будет оставаться в вертикальном положении ($\alpha = 0$) вплоть до $x = l \sqrt{ 1 - \frac{ \rho}{ \rho_{0} } }$, после чего начнет отклоняться от вертикали ($\alpha = \arccos \frac{x}{ l \sqrt{ 1 - \frac{ \rho}{ \rho_{0} } } }$) до горизонтального положения при $x = 0$.
II. $x < 0$ (рис.). После погружения оси суммарный момент сил равен
$M = \rho Slg \cdot \frac{l}{2} \sin ( \pi - \alpha) - \rho_{0} S \frac{x}{ \sin ( \pi - \alpha) } g \cdot \frac{x}{2} tg ( \pi - \alpha) = \rho_{0}Sg \sin \alpha \left ( \frac{ \rho}{ \rho_{0} } l^{2} - \frac{x^{2} }{ \cos^{2} \alpha } \right )$,
и условие $M = 0$ принимает вид
$\sin \alpha \left ( \frac{ \rho}{ \rho_{0} } l^{2} - \frac{x^{2} }{ \cos^{2} \alpha } \right ) = 0$.
Анализ, аналогичный проведенному выше (для $x > 0$), показывает, что устойчивыми положениями равновесия будут:
3) $\alpha =arccos \frac{x}{l} \sqrt{ \frac{ \rho_{0} }{ \rho} }$ при $-l \sqrt{ \frac{ \rho}{ \rho_{0} } } < x < 0$.
4) $\alpha = \pi$ при $x < - l \sqrt{ \frac{ \rho}{ \rho_{0} }}$.
Таким образом, после погружения оси стержень начнет приближаться к вертикали и при $x = - l \sqrt{ \frac{ \rho}{ \rho_{0} } }$ вновь примет вертикальное положение ($\alpha = \pi$).
График зависимости представлен на рисунке.
Тонкий однородный стержень, который может свободно вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через конец стержня, неподвижно висит над водой (рис.): длина стержня $l$, плотность материала $\rho$ ($\rho$ меньше плотности воды $\rho_{0}$). Медленно опуская ось, стержень погружают в воду. Найдите зависимость между углом отклонения стержня от вертикали и расстоянием от оси до поверхности воды, постройте график этой зависимости.
Решение:
В процессе погружения на стержень действуют три силы: сила тяжести, сила Архимеда и сила реакции со стороны оси. При медленном погружении при любом значении расстояния $x$ от оси до поверхности воды стержень будет находиться в положении равновесия.
В качестве условия равновесия воспользуемся равенством нулю суммарного момента сил относительно оси вращения. Поскольку момент $M_{A}$ силы Архимеда до начала погружения оси ($x > 0$) и после него ($x < 0$) выражается разными формулами, следует рассмотреть эти стадии отдельно.
I. $x > 0$ (см. рис.). Момент силы тяжести равен
$M_{т} = f_{т} \cdot d_{т} = \rho Slg \cdot \frac{l}{2} \sin \alpha = \frac{1}{2} \rho Sl^{2} g \sin \alpha$
($S$ - площадь поперечного сечения стержня); момент силы Архимеда -
$M_{A} = f_{A} \cdot d_{A} = \rho_{0} S \left ( l - \frac{x}{ \cos \alpha} \right ) g \cdot \frac{1}{2} \left ( l + \frac{x}{ \cos \alpha} \right ) \sin \alpha = \frac{1}{2} \rho_{0}S \left ( l^{2} - \frac{x^{2}}{ \cos^{2} \alpha } \right ) g \sin \alpha$.
Будем считать момент силы тяжести положительным; тогда момент силы Архимеда отрицателен (поскольку он стремится повернуть стержень в противоположном направлении). Тогда условие равновесия запишется в виде
$M = M_{т} + M_{A} = \frac{1}{2} \rho Sl^{2} \sin \alpha - \frac{1}{2} \rho_{0}S \left ( l^{2} - \frac{x^{2} }{ \cos^{2} \alpha } \right ) g \sin \alpha = 0 \Rightarrow \sin \alpha \left ( \frac{x^{2} }{ \cos^{2} \alpha } - \left ( 1 - \frac{ \rho }{ \rho_{0} } \right ) l^{2} \right ) = 0$.
Это условие выполняется при
1) $\sin \alpha = 0$,
2) $\cos \alpha = \frac{x}{l} \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{ \rho}{ \rho_{0} } } }$.
Физический смысл при заданных в задаче условиях имеют решения:
1) $\alpha = 0$ - существует при любых $x \geq 0$,
2) $\alpha = arccos \left ( \frac{x}{l} \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{ \rho}{ \rho_{0} } } } \right )$ - существует при $l \sqrt{1 - \frac{ \rho}{ \rho_{0} } } \geq x \geq 0$.
Исследуем на устойчивость первое положение равновесия $\alpha = 0$, соответствующее вертикальному положению стержня. При малом отклонении от этого положения (угол $\alpha$ мал, так что $\sin \alpha \approx \alpha$ и $\cos \alpha \approx 1$) момент сил равен
$M \approx \frac{1}{2} \rho Sl^{2} g \alpha - \frac{1}{2} \rho_{0}S (l^{2} -x^{2} ) g \alpha = \frac{1}{2} \rho_{0} Sg \alpha \left ( x^{2} - l^{2} \left ( 1 - \frac{ \rho}{ \rho_{0} } \right ) \right )$.
При $x > l \sqrt{1 - \frac{ \rho}{ \rho_{0}}}$ этот момент положителен, то есть поворачивает стержень в том же направлении, что и момент силы тяжести, - силы возвращают стержень в положение равновесия. Следовательно, пока $x > l \sqrt{ 1 - \frac{ \rho}{ \rho_{0} } }$, равновесие при $\alpha = 0$ устойчиво. При $x < l \sqrt{1 - \frac{ \rho}{ \rho_{0} }}$ момент $M < 0$ - положение равновесия $\alpha = 0$ становится неустойчивым. Ясно, что в этом случае будет устойчиво второе положение равновесия (2)), поскольку существование устойчивого равновесия очевидно, а иных положений равновесия, кроме 1) и 2), нет.
Таким образом, по мере погружения стержень сначала будет оставаться в вертикальном положении ($\alpha = 0$) вплоть до $x = l \sqrt{ 1 - \frac{ \rho}{ \rho_{0} } }$, после чего начнет отклоняться от вертикали ($\alpha = \arccos \frac{x}{ l \sqrt{ 1 - \frac{ \rho}{ \rho_{0} } } }$) до горизонтального положения при $x = 0$.
II. $x < 0$ (рис.). После погружения оси суммарный момент сил равен
$M = \rho Slg \cdot \frac{l}{2} \sin ( \pi - \alpha) - \rho_{0} S \frac{x}{ \sin ( \pi - \alpha) } g \cdot \frac{x}{2} tg ( \pi - \alpha) = \rho_{0}Sg \sin \alpha \left ( \frac{ \rho}{ \rho_{0} } l^{2} - \frac{x^{2} }{ \cos^{2} \alpha } \right )$,
и условие $M = 0$ принимает вид
$\sin \alpha \left ( \frac{ \rho}{ \rho_{0} } l^{2} - \frac{x^{2} }{ \cos^{2} \alpha } \right ) = 0$.
Анализ, аналогичный проведенному выше (для $x > 0$), показывает, что устойчивыми положениями равновесия будут:
3) $\alpha =arccos \frac{x}{l} \sqrt{ \frac{ \rho_{0} }{ \rho} }$ при $-l \sqrt{ \frac{ \rho}{ \rho_{0} } } < x < 0$.
4) $\alpha = \pi$ при $x < - l \sqrt{ \frac{ \rho}{ \rho_{0} }}$.
Таким образом, после погружения оси стержень начнет приближаться к вертикали и при $x = - l \sqrt{ \frac{ \rho}{ \rho_{0} } }$ вновь примет вертикальное положение ($\alpha = \pi$).
График зависимости представлен на рисунке.
