Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12438
2020-01-08 
В пролетном масс-спектрометре источник испускает сгусток заряженных частиц, которые сначала летят свободно (рис.) и пролетают через первый датчик ($Д_{1}$), находящийся на расстоянии $L$ от сетки (C). За сеткой по нормали к ней на частицы действует электрическая сила $F$. Частицы поворачиваются, вылетают через сетку назад и пролетают через второй датчик ($Д_{2}$), находящийся на том же расстоянии $L$ от сетки. Меняя режим работы источника, измеряют время между срабатываниями датчиков и находят наименьшее время пролета $\tau$. Какова масса частиц? (Начальная скорость зависит от напряжения источника, но точное значение ее неизвестно.) Как можно найти массы частиц, если источник испускает одновременно несколько сортов частиц с разными массами?
Решение:
Пусть частица массы $m$ вылетает из источника со скоростью $v$. Обозначим и проекцию этой скорости на направление, параллельное сетке С, а $v_{ \perp}$ - проекцию $v$ на направление, перпендикулярное сетке. При движении частицы за сеткой (справа от нее) $v_{ \parallel}$ остается неизменной, a $v_{ \perp}$ меняется от $+ v_{1}$ до $-v_{ \perp}$. Согласно закону сохранения импульса (в проекциях на направление, перпендикулярное сетке), $F \cdot \Delta t = m \cdot \Delta v_{ \perp} = 2mv_{ \perp}$, где $\Delta t$ - время движения частицы за сеткой; отсюда $\Delta t = \frac{2mv_{ \perp}}{F}$. Полное время пролета - это
$T = t + \Delta t = \frac{2L}{v_{ \perp} } + \frac{2mv_{1} }{F}$ (*)
($t$ - суммарное время пролета от датчика $Д_{1}$ до входа за сетку и от выхода из сетки до датчика $Д_{2}$).
На рисунке приведен график зависимости $T(v_{ \perp} )$. Видно, что одно и то же время пролета получается при двух значениях $v_{ \perp}$ и только минимальному значению $T_{min} = \tau$ соответствует единственное значение $v_{ \perp}$. Это означает, что если рассматривать (*) как уравнение для скорости, то при $T = \tau$ оно имеет единственное решение. Иными словами, уравнение
$\frac{2m}{F}v_{ \perp}^{2} - \tau v_{ \perp} + 2L = 0$
имеет единственное решение; значит дискриминант уравнения равен нулю -
$\tau^{2} - \frac{16Lm}{F} = 0$,
откуда и находим массу частицы:
$m = \frac{F \tau^{2}}{16L}$.
При наличии частиц различных масс и при одновременном пролете ими первого датчика (короткий сгусток при датчике $Д_{1}$, расположенном вблизи источника) второй датчик будет срабатывать не однократно. При фиксированном напряжении источника получится несколько времен пролета. Будем плавно менять напряжение и откладывать для каждого фиксированного напряжения источника $U$ соответствующий набор времен пролета (рис.). Получившиеся на графике точки укладываются на несколько плавных кривых, каждая из которых отвечает частицам определенной массы со своим значением минимального времени пролета $\tau$.
В пролетном масс-спектрометре источник испускает сгусток заряженных частиц, которые сначала летят свободно (рис.) и пролетают через первый датчик ($Д_{1}$), находящийся на расстоянии $L$ от сетки (C). За сеткой по нормали к ней на частицы действует электрическая сила $F$. Частицы поворачиваются, вылетают через сетку назад и пролетают через второй датчик ($Д_{2}$), находящийся на том же расстоянии $L$ от сетки. Меняя режим работы источника, измеряют время между срабатываниями датчиков и находят наименьшее время пролета $\tau$. Какова масса частиц? (Начальная скорость зависит от напряжения источника, но точное значение ее неизвестно.) Как можно найти массы частиц, если источник испускает одновременно несколько сортов частиц с разными массами?
Решение:
Пусть частица массы $m$ вылетает из источника со скоростью $v$. Обозначим и проекцию этой скорости на направление, параллельное сетке С, а $v_{ \perp}$ - проекцию $v$ на направление, перпендикулярное сетке. При движении частицы за сеткой (справа от нее) $v_{ \parallel}$ остается неизменной, a $v_{ \perp}$ меняется от $+ v_{1}$ до $-v_{ \perp}$. Согласно закону сохранения импульса (в проекциях на направление, перпендикулярное сетке), $F \cdot \Delta t = m \cdot \Delta v_{ \perp} = 2mv_{ \perp}$, где $\Delta t$ - время движения частицы за сеткой; отсюда $\Delta t = \frac{2mv_{ \perp}}{F}$. Полное время пролета - это
$T = t + \Delta t = \frac{2L}{v_{ \perp} } + \frac{2mv_{1} }{F}$ (*)
($t$ - суммарное время пролета от датчика $Д_{1}$ до входа за сетку и от выхода из сетки до датчика $Д_{2}$).
На рисунке приведен график зависимости $T(v_{ \perp} )$. Видно, что одно и то же время пролета получается при двух значениях $v_{ \perp}$ и только минимальному значению $T_{min} = \tau$ соответствует единственное значение $v_{ \perp}$. Это означает, что если рассматривать (*) как уравнение для скорости, то при $T = \tau$ оно имеет единственное решение. Иными словами, уравнение
$\frac{2m}{F}v_{ \perp}^{2} - \tau v_{ \perp} + 2L = 0$
имеет единственное решение; значит дискриминант уравнения равен нулю -
$\tau^{2} - \frac{16Lm}{F} = 0$,
откуда и находим массу частицы:
$m = \frac{F \tau^{2}}{16L}$.
При наличии частиц различных масс и при одновременном пролете ими первого датчика (короткий сгусток при датчике $Д_{1}$, расположенном вблизи источника) второй датчик будет срабатывать не однократно. При фиксированном напряжении источника получится несколько времен пролета. Будем плавно менять напряжение и откладывать для каждого фиксированного напряжения источника $U$ соответствующий набор времен пролета (рис.). Получившиеся на графике точки укладываются на несколько плавных кривых, каждая из которых отвечает частицам определенной массы со своим значением минимального времени пролета $\tau$.
