ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-01-08   
В запаянном капилляре находится жидкость плотности $\rho$. При нагревании капилляра на малое $\Delta T$ оказалось, что граница АВ между жидкостью и ее паром (см. рисунок) не сдвигается. При этом давление пара возросло на $\Delta p$. Как изменилась плотность жидкости?



Решение:


Из условия задачи следует, что состояния системы до и после нагревания отвечают равновесному сосуществованию жидкости и ее пара. Это означает, что на $p - T$-диаграмме оба состояния попадают на кривую сосуществования. Эта кривая, как известно, представляет собой зависимость давления $p$ насыщенного пара от температуры $T$, причем зависимость эта монотонная. Касательные к кривой $p(T)$ составляют разные углы с осью $T$. Выберем ту точку на кривой, касательная в которой составляет угол $\alpha = arctg \frac{ \Delta p}{ \Delta T}$ с осью $T$. Значения $p$ и $T$, отвечающие этой точке, однозначно определяют начальные давление и температуру газа.

При нагревании жидкость должна была бы расширяться, то есть граница АВ должна была бы двигаться вправо. Неподвижность границы означает, что при нагревании испаряется такая масса $\Delta m$ жидкости, что оставшаяся жидкость плотностью $\rho - \Delta \rho$ занимает прежний объем. Как видно из рисунка, этот объем равен объему, занимаемому паром. Таким образом.

$\Delta \rho = \frac{ \Delta m}{V}$. (*)

Изменение давления насыщенного пара связано с увеличением его температуры на $\Delta T$. Из уравнений состояния пара при температурах $T$ и $T + \Delta T$ -

$pV = \frac{m}{ \mu} RT$,
$(p + \Delta p)V = \frac{m + \Delta m}{ \mu} R(T + \Delta T)$,

- получаем:

$\Delta p \cdot V = \frac{ \Delta m}{ \mu} RT + \frac{m}{ \mu} R \cdot \Delta T + \frac{ \Delta m}{ \mu} R \cdot \Delta T$.

Пренебрегая членом $\frac{R}{ \mu} ( \Delta m \cdot \Delta T )$, отсюда с учетом (*) находим:

$\Delta \rho = \frac{ \mu}{R} \frac{ \Delta p \cdot T - p \cdot \Delta T}{T^{2} }$.