Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12436
2020-01-08 
Спутник исследует планету, плотность которой $\rho$, двигаясь по круговой орбите с периодом обращения $T$ и фотографируя ее поверхность. Какая часть площади планеты останется неисследованной?
Решение:
Со спутника видна лишь часть поверхности планеты, попадающая внутрь конуса, вершина которого - точка, в которой в данный момент находится спутник, а образующие - касательные к поверхности планеты, проведенные из этой точки (см. рисунок). Таким образом, неисследованными остаются два сферических сегмента, площадь которых
$s = 2 \cdot 2 \pi rh = 4 \pi r^{2} (1 - \cos \alpha ) = 4 \pi r^{2} \left ( 1 - \sqrt{1 - \left ( \frac{r}{R} \right )^{2} } \right )$,
где $r$ - радиус планеты, $R$ - радиус орбиты спутника. Отношение этой площади к площади поверхности планеты -
$\frac{s}{S} = 1 - \sqrt{1 - \left ( \frac{r}{R} \right )^{2} }$. (*)
Выразим отношение $r/R$ через приведенные в условии задачи данные.
Запишем уравнение движения спутника:
$G \frac{Mm}{R^{2} } = ma$, или $a = G \frac{M}{R^{2} } = G \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho \cdot \frac{1}{R^{2} }$.
С другой стороны, $a = \left ( \frac{2 \pi }{T} \right )^{2} R$. Следовательно,
$\frac{4}{3} G \pi \rho \frac{r^{3} }{R^{2} } = \frac{4 \pi^{2} }{T^{2} } R$,
откуда
$\frac{r}{R} = \sqrt[3]{ \frac{3 \pi}{G \rho T^{2} } }$.
Подставляя это значение в (*), находим, какая часть площади поверхности планеты остается неисследованной :
$\frac{s}{S} = 1 - \sqrt{1 - \left ( \frac{3 \pi}{G \rho T^{2} } \right )^{2/3} }$.
Спутник исследует планету, плотность которой $\rho$, двигаясь по круговой орбите с периодом обращения $T$ и фотографируя ее поверхность. Какая часть площади планеты останется неисследованной?
Решение:
Со спутника видна лишь часть поверхности планеты, попадающая внутрь конуса, вершина которого - точка, в которой в данный момент находится спутник, а образующие - касательные к поверхности планеты, проведенные из этой точки (см. рисунок). Таким образом, неисследованными остаются два сферических сегмента, площадь которых
$s = 2 \cdot 2 \pi rh = 4 \pi r^{2} (1 - \cos \alpha ) = 4 \pi r^{2} \left ( 1 - \sqrt{1 - \left ( \frac{r}{R} \right )^{2} } \right )$,
где $r$ - радиус планеты, $R$ - радиус орбиты спутника. Отношение этой площади к площади поверхности планеты -
$\frac{s}{S} = 1 - \sqrt{1 - \left ( \frac{r}{R} \right )^{2} }$. (*)
Выразим отношение $r/R$ через приведенные в условии задачи данные.
Запишем уравнение движения спутника:
$G \frac{Mm}{R^{2} } = ma$, или $a = G \frac{M}{R^{2} } = G \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho \cdot \frac{1}{R^{2} }$.
С другой стороны, $a = \left ( \frac{2 \pi }{T} \right )^{2} R$. Следовательно,
$\frac{4}{3} G \pi \rho \frac{r^{3} }{R^{2} } = \frac{4 \pi^{2} }{T^{2} } R$,
откуда
$\frac{r}{R} = \sqrt[3]{ \frac{3 \pi}{G \rho T^{2} } }$.
Подставляя это значение в (*), находим, какая часть площади поверхности планеты остается неисследованной :
$\frac{s}{S} = 1 - \sqrt{1 - \left ( \frac{3 \pi}{G \rho T^{2} } \right )^{2/3} }$.
