Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12435
2020-01-08 
При съемке кадра из фильма "Гулливер в стране лилипутов" актера, играющего роль Гулливера, поместили на расстоянии 4 м от кинокамеры с короткофокусным объективом, а актера, исполняющего роль лилипута, - на расстоянии 40 м. На какое расстояние нужно навести объектив камеры, чтобы изображения обоих героев на киноленте были одинаково четкими?
Почему при такой съемке используется короткофокусный объектив? Оцените фокусное расстояние такого объектива, если известно, что обычная (некомбинированная) съемка людей с расстояния 5 м проводится объективом с фокусным расстоянием 50 см и глубина резкости при этом 0,5 м.
Решение:
Будем считать объектив тонкой линзой. На рисунке приведена схема построения изображения на пленке в кинокамере.
Изображения обоих героев фильма будут одинаково четкими, если любые две точки лилипута и Гулливера, например $A_{2}$ и $A_{1}$, будут представлены на киноленте световыми пятнышками одинакового радиуса.
Действительные изображения точек $A_{1}$ и $A_{2}$, расположенных на расстояниях $d_{1}$ и $d_{2}$ от линзы (объектива), находятся в точках $B_{1}$ и $B_{2}$ на расстояниях $f_{1}$ и $f_{2}$ соответственно. Если экран (кинопленку) поместить в плоскости $BC$ на расстоянии $f$ от линзы, то изображения точек $A_{1}$ и $A_{2}$ будут одинаково размыты - вместо точек $B_{1}$ и $B_{2}$ на экране будут пятна одинакового радиуса $r = |CB|$. Следовательно, объектив кинокамеры следует навести на точку $A$, расположенную на расстоянии $d$ от линзы, такую, что ее изображение попадет в точку $B$.
Из подобия треугольников $B_{1}CB$ и $B_{1}KO$, $B_{2}CB$ и $B_{2}KO$ следует:
$\frac{f - f_{1} }{f_{1} } = \frac{r}{R}, \frac{f_{2} - f }{f_{2} } = \frac{r}{R}$.
где $R =|OK|$ - радиус диафрагмы объектива (эта величина в основном определяется необходимой глубиной резкости и условиями освещения), и отсюда получаем:
$\frac{1}{f_{1} } + \frac{1}{f_{2} } = \frac{2}{f}$. (1)
С другой стороны, из формулы линзы следует, что
$\frac{1}{f_{1} } = \frac{1}{F} - \frac{1}{d_{1} }, \frac{1}{f_{2} } = \frac{1}{F} - \frac{1}{d_{2} }, \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d}$,
где $F$ - фокусное расстояние линзы. Подставив эти выражения в (1), получим:
$\frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2} } = \frac{2}{d}$,
откуда
$d = 2 \frac{d_{1}d_{2} }{d_{1} + d_{2} }$.
Подставляя численные значения $d_{1} = 40 м$ и $d_{2} = 4 м$, находим, что при комбинированной съемке объектив следует навести на точку, находящуюся на расстоянии $d = 7,3 м$ от объектива.
В конечный ответ не входит величина фокусного расстояния объектива. Зачем же требовать, чтобы он был короткофокусным?
Выразим величину $r/R$ через $d_{1}, d_{2}$ и $F$:
$\frac{r}{R} = \frac{(d_{1} - d_{2} )F}{2d_{1}d_{2} - F(d_{1} + d_{2} ) }$;
так как $F \ll d_{1}, d_{2}$, то для получения оценки можно считать, что
$\frac{r}{R} = \frac{d_{1} - d_{2} }{2d_{1}d_{2} } F$, (2)
и, следовательно, размытость изображений точек, находящихся на расстояниях $d_{1}$ и $d_{2}$ от линзы, прямо пропорциональна фокусному расстоянию.
Так как при обычной (некомбинированной) съемке $d_{1} \approx d_{2} \approx d_{0}$, то из (2) следует:
$\left ( \frac{r}{R} \right )_{об} = \frac{ \Delta d}{2d_{0}^{2} } F_{об}$,
где $d_{0}$ - расстояние до объекта, $\Delta d$ - глубина резкости, $F_{об}$ - фокусное расстояние применяемого при этой съемке объектива. При комбинированной съемке $d_{1} \gg d_{2}$, и из (2) следует:
$\left ( \frac{r}{R} \right )_{комб} = \frac{1}{2d_{2} }F$.
Чтобы качество изображений (их размытость) было одинаковым при этих двух видах съемки, необходимо потребовать, чтобы при съемке с одинаковой диафрагмой радиусы пятен $r_{об}$ и $r_{комб}$ были одинаковыми. Тогда
$F = F_{об} \frac{ \Delta d \cdot d_{2} }{d_{0}^{2} }$,
Подставляя численные значения $F_{об} = 50 см, \Delta d = 0,5 м, d_{0} = 5 м$ и $d_{2} = 4 м$, получим $F = 4 см$.
Значит, для получения качественных снимков с большой глубиной резкости следует применять короткофокусный объектив.
При съемке кадра из фильма "Гулливер в стране лилипутов" актера, играющего роль Гулливера, поместили на расстоянии 4 м от кинокамеры с короткофокусным объективом, а актера, исполняющего роль лилипута, - на расстоянии 40 м. На какое расстояние нужно навести объектив камеры, чтобы изображения обоих героев на киноленте были одинаково четкими?
Почему при такой съемке используется короткофокусный объектив? Оцените фокусное расстояние такого объектива, если известно, что обычная (некомбинированная) съемка людей с расстояния 5 м проводится объективом с фокусным расстоянием 50 см и глубина резкости при этом 0,5 м.
Решение:
Будем считать объектив тонкой линзой. На рисунке приведена схема построения изображения на пленке в кинокамере.
Изображения обоих героев фильма будут одинаково четкими, если любые две точки лилипута и Гулливера, например $A_{2}$ и $A_{1}$, будут представлены на киноленте световыми пятнышками одинакового радиуса.
Действительные изображения точек $A_{1}$ и $A_{2}$, расположенных на расстояниях $d_{1}$ и $d_{2}$ от линзы (объектива), находятся в точках $B_{1}$ и $B_{2}$ на расстояниях $f_{1}$ и $f_{2}$ соответственно. Если экран (кинопленку) поместить в плоскости $BC$ на расстоянии $f$ от линзы, то изображения точек $A_{1}$ и $A_{2}$ будут одинаково размыты - вместо точек $B_{1}$ и $B_{2}$ на экране будут пятна одинакового радиуса $r = |CB|$. Следовательно, объектив кинокамеры следует навести на точку $A$, расположенную на расстоянии $d$ от линзы, такую, что ее изображение попадет в точку $B$.
Из подобия треугольников $B_{1}CB$ и $B_{1}KO$, $B_{2}CB$ и $B_{2}KO$ следует:
$\frac{f - f_{1} }{f_{1} } = \frac{r}{R}, \frac{f_{2} - f }{f_{2} } = \frac{r}{R}$.
где $R =|OK|$ - радиус диафрагмы объектива (эта величина в основном определяется необходимой глубиной резкости и условиями освещения), и отсюда получаем:
$\frac{1}{f_{1} } + \frac{1}{f_{2} } = \frac{2}{f}$. (1)
С другой стороны, из формулы линзы следует, что
$\frac{1}{f_{1} } = \frac{1}{F} - \frac{1}{d_{1} }, \frac{1}{f_{2} } = \frac{1}{F} - \frac{1}{d_{2} }, \frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d}$,
где $F$ - фокусное расстояние линзы. Подставив эти выражения в (1), получим:
$\frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2} } = \frac{2}{d}$,
откуда
$d = 2 \frac{d_{1}d_{2} }{d_{1} + d_{2} }$.
Подставляя численные значения $d_{1} = 40 м$ и $d_{2} = 4 м$, находим, что при комбинированной съемке объектив следует навести на точку, находящуюся на расстоянии $d = 7,3 м$ от объектива.
В конечный ответ не входит величина фокусного расстояния объектива. Зачем же требовать, чтобы он был короткофокусным?
Выразим величину $r/R$ через $d_{1}, d_{2}$ и $F$:
$\frac{r}{R} = \frac{(d_{1} - d_{2} )F}{2d_{1}d_{2} - F(d_{1} + d_{2} ) }$;
так как $F \ll d_{1}, d_{2}$, то для получения оценки можно считать, что
$\frac{r}{R} = \frac{d_{1} - d_{2} }{2d_{1}d_{2} } F$, (2)
и, следовательно, размытость изображений точек, находящихся на расстояниях $d_{1}$ и $d_{2}$ от линзы, прямо пропорциональна фокусному расстоянию.
Так как при обычной (некомбинированной) съемке $d_{1} \approx d_{2} \approx d_{0}$, то из (2) следует:
$\left ( \frac{r}{R} \right )_{об} = \frac{ \Delta d}{2d_{0}^{2} } F_{об}$,
где $d_{0}$ - расстояние до объекта, $\Delta d$ - глубина резкости, $F_{об}$ - фокусное расстояние применяемого при этой съемке объектива. При комбинированной съемке $d_{1} \gg d_{2}$, и из (2) следует:
$\left ( \frac{r}{R} \right )_{комб} = \frac{1}{2d_{2} }F$.
Чтобы качество изображений (их размытость) было одинаковым при этих двух видах съемки, необходимо потребовать, чтобы при съемке с одинаковой диафрагмой радиусы пятен $r_{об}$ и $r_{комб}$ были одинаковыми. Тогда
$F = F_{об} \frac{ \Delta d \cdot d_{2} }{d_{0}^{2} }$,
Подставляя численные значения $F_{об} = 50 см, \Delta d = 0,5 м, d_{0} = 5 м$ и $d_{2} = 4 м$, получим $F = 4 см$.
Значит, для получения качественных снимков с большой глубиной резкости следует применять короткофокусный объектив.
