Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12432
2020-01-08 
На шероховатом столе лежит брусок массой $m = 1 кг$; коэффициент трения покоя бруска о стол $\mu_{0} = 1$, коэффициент трения скольжения $\mu = 0,9$. К бруску прикреплена пружина жесткостью $k = 1 Н/м$. Пружину начинают тянуть в горизонтальном направлении так, что ее свободный конец движется с постоянной скоростью $v = 1 м/с$ (pиc.). Как будет двигаться брусок?
Решение:
Будем рассматривать движение системы поэтапно.
Первый этап: брусок неподвижен, пружина растягивается. Это происходит до тех пор, пока в некоторый момент времени $t_{1}$ сила натяжения пружины ($| kx_{1}|$) не достигнет значения максимальной силы трения покоя ($\mu_{0}mg$); с этого момента брусок начнет двигаться.
Найдем $t_{1}: kx_{1} = \mu_{0}mg$, или $k(vt_{1}) = \mu_{0}mg$, откуда
$t_{1} = \mu_{0} \frac{mg}{kv} \approx 10 с$.
Введем обозначение $k/m = \omega^{2}$. Тогда
$t_{1} = \frac{ \mu_{0}g}{ v \omega^{2}}$.
В этот момент растяжение пружины
$x_{1} = vt_{1} = \mu_{0} \frac{g}{ \omega^{2} }$.
Второй этап. С момента времени $t_{1}$ брусок начинает двигаться. Рассмотрим это движение в системе координат, которая движется со скоростью $\vec{v}$. В этой системе (обозначим ее $c$) в момент времени $t_{1}$ брусок имеет скорость $- \vec{v}$ и координату $x = 0$, пружина растянута на $x_{1} = vt_{1}$. Дальнейшее движение бруска происходит под действием силы упругости $f_{упр} = kx_{1}$ и силы трения скольжения $f = \mu mg$, направленной в сторону, противоположную направлению вектора $\vec{v}$ (так направлена скорость бруска относительно стола, который в системе $c$ имеет постоянную скорость $- \vec{v}$). Вспомним, что под действием упругой силы и постоянной силы (в данном случае - трения) тело совершает гармонические колебания:
$x_{c} = x_{cmax} \sin ( \omega t + \phi ) + x_{0}$ ($\omega = \sqrt{ \frac{k}{m}}$), (1)
где $x_{0}$ - положение равновесия, которое определяется условием
$k(x_{1} - x_{0}) - \mu mg = 0 \Rightarrow x_{0} = x_{1} - \frac{ \mu mg}{k} = x_{1} - \mu \frac{g}{ \omega^{2} } = \Rightarrow \Delta \mu \frac{g}{ \omega^{2} }$,
где $\Delta \mu = \mu_{0} - \mu$.
Скорость бруска при этом изменяется по закону
$v_{c} = x_{c}^{ \prime} = x_{cmax} \omega \cos ( \omega t + \phi)$. (2)
Найдем значение $x_{cmax}$ и $\phi$. Для этого подставим в (1) и (2) значения $t = t_{1}, x_{c} = x(t_{1} ) = - v$:
$0 = x_{cmax} \sin ( \omega_{1}t + \phi ) + \Delta \mu \frac{g}{ \omega^{2} }$.
$-v = x_{cmax} \omega \cos ( \omega t_{1} + \phi )$.
Перепишем эти уравнения в такой форме:
$x_{cmax} \sin ( \omega t_{1} + \phi ) = - \Delta \mu \frac{g}{ \omega^{2} }$. (3)
$x_{cmax} \cos ( \omega t_{1} + \phi ) = - \frac{v}{ \omega}$. (4)
Возведя (3) и (4) в квадрат и сложив получившиеся выражения, найдем:
$x_{cmax}^{2} = \frac{( \Delta \mu )^{2} g^{2} }{ \omega^{4} } + \frac{}{} \approx 2 м^{2}, x_{cmax} \approx 1,4 м$.
Поделив (3) на (4), получим:
$tg ( \omega t_{1} + \phi) = \Delta \mu \frac{g}{v \omega}$
$( \sin( \omega t _{1} + \phi ) < 0, \cos ( \omega t_{1} + \phi ) < 0$
откуда
$\phi = \pi + arctg \frac{ \Delta \mu \cdot g}{v \omega} - \omega t_{1} \approx \frac{5 \pi}{4}$.
Перейдем теперь в неподвижную систему отсчета (в момент времени $t_{1}$ начала координат в обеих системах совпадают):
$x = x_{c} + v(t - t_{1}) = x_{cmax} \sin ( \omega t + \phi ) + v(t - t_{1}) + \Delta \mu \frac{g}{ \omega^{2} } = \sqrt{2} \sin \left ( (t - 10)+ \frac{5 \pi}{4} \right ) + (t - 10) + 1 (м)$
$x^{ \prime} = x_{cmax} \omega \cos ( \omega t + \phi ) + v = \sqrt{2} \cos \left ( (t - 10) + \frac{5 \pi}{4} \right ) + 1 (м/с)$.
Эти уравнения описывают движение бруска от момента времени $t_{1}$ до момента $t_{2}$, когда скорость бруска станет равной 0 и силу трения скольжения заменит сила трения покоя. В момент $t_{2}$
$x^{ \prime} = x_{cmax} \omega \cos ( \omega t_{2} + \phi) + v = 0$.
Вспомним, что угол $\theta = \omega t_{1} + \phi$ находится в третьей четверти. При дальнейшем росте $t$ ($t > t_{1}$) угол этот будет расти, $\cos ( \omega t + \phi)$ также будет расти, следовательно, и скорость будет расти, оставаясь положительной. Когда $( \omega t + \phi )$ окажется во второй (шестой) четверти, $\cos ( \omega t_{1} + \phi )$ будет отрицательным, и когда он станет равным $\cos ( \omega t_{1} + \phi )$, скорость бруска станет равной нулю. Таким образом,
$t_{2} = t_{1} + \frac{2 \left ( \pi - arctg \frac{ \Delta \mu \cdot g}{v \omega} \right ) }{ \omega} \approx 15 с$,
$x(t_{2} ) \approx 7 м$.
Заметим, что силы натяжения пружины в моменты $t_{2}$ и $t_{1}$ связаны соотношением
$f(t_{1}) - \mu mg = - (f(t_{2}) - \mu mg ) \Rightarrow f(t_{2}) = 2 \mu mg - f(t_{1})$.
Ho $f(t_{1}) = \mu_{0}mg$; поэтому
$f(t_{2}) = mg(2 \mu - \mu_{0}) < \mu_{0}mg$.
Значит, в момент $t_{2}$ брусок остановится и не будет двигаться до момента $t_{3}$, когда $f(t_{3})$ станет равной по модулю $\mu_{0} mg$. Интервал времени $t_{3} - t_{2}$, очевидно, равен
$t_{3} - t_{2} = \frac{f(t_{3} ) - f(t_{2} ) }{kv} = \frac{2( \mu_{0} - \mu )g}{v \omega^{2} } \approx 2 с$.
Затем цикл повторяется, так что $t_{4} - t_{3} = t_{2} - t_{1}$, и т. д. Графики функций $x(t)$ и $x^{ \prime}(t)$ приведены на рисунках.
На шероховатом столе лежит брусок массой $m = 1 кг$; коэффициент трения покоя бруска о стол $\mu_{0} = 1$, коэффициент трения скольжения $\mu = 0,9$. К бруску прикреплена пружина жесткостью $k = 1 Н/м$. Пружину начинают тянуть в горизонтальном направлении так, что ее свободный конец движется с постоянной скоростью $v = 1 м/с$ (pиc.). Как будет двигаться брусок?
Решение:
Будем рассматривать движение системы поэтапно.
Первый этап: брусок неподвижен, пружина растягивается. Это происходит до тех пор, пока в некоторый момент времени $t_{1}$ сила натяжения пружины ($| kx_{1}|$) не достигнет значения максимальной силы трения покоя ($\mu_{0}mg$); с этого момента брусок начнет двигаться.
Найдем $t_{1}: kx_{1} = \mu_{0}mg$, или $k(vt_{1}) = \mu_{0}mg$, откуда
$t_{1} = \mu_{0} \frac{mg}{kv} \approx 10 с$.
Введем обозначение $k/m = \omega^{2}$. Тогда
$t_{1} = \frac{ \mu_{0}g}{ v \omega^{2}}$.
В этот момент растяжение пружины
$x_{1} = vt_{1} = \mu_{0} \frac{g}{ \omega^{2} }$.
Второй этап. С момента времени $t_{1}$ брусок начинает двигаться. Рассмотрим это движение в системе координат, которая движется со скоростью $\vec{v}$. В этой системе (обозначим ее $c$) в момент времени $t_{1}$ брусок имеет скорость $- \vec{v}$ и координату $x = 0$, пружина растянута на $x_{1} = vt_{1}$. Дальнейшее движение бруска происходит под действием силы упругости $f_{упр} = kx_{1}$ и силы трения скольжения $f = \mu mg$, направленной в сторону, противоположную направлению вектора $\vec{v}$ (так направлена скорость бруска относительно стола, который в системе $c$ имеет постоянную скорость $- \vec{v}$). Вспомним, что под действием упругой силы и постоянной силы (в данном случае - трения) тело совершает гармонические колебания:
$x_{c} = x_{cmax} \sin ( \omega t + \phi ) + x_{0}$ ($\omega = \sqrt{ \frac{k}{m}}$), (1)
где $x_{0}$ - положение равновесия, которое определяется условием
$k(x_{1} - x_{0}) - \mu mg = 0 \Rightarrow x_{0} = x_{1} - \frac{ \mu mg}{k} = x_{1} - \mu \frac{g}{ \omega^{2} } = \Rightarrow \Delta \mu \frac{g}{ \omega^{2} }$,
где $\Delta \mu = \mu_{0} - \mu$.
Скорость бруска при этом изменяется по закону
$v_{c} = x_{c}^{ \prime} = x_{cmax} \omega \cos ( \omega t + \phi)$. (2)
Найдем значение $x_{cmax}$ и $\phi$. Для этого подставим в (1) и (2) значения $t = t_{1}, x_{c} = x(t_{1} ) = - v$:
$0 = x_{cmax} \sin ( \omega_{1}t + \phi ) + \Delta \mu \frac{g}{ \omega^{2} }$.
$-v = x_{cmax} \omega \cos ( \omega t_{1} + \phi )$.
Перепишем эти уравнения в такой форме:
$x_{cmax} \sin ( \omega t_{1} + \phi ) = - \Delta \mu \frac{g}{ \omega^{2} }$. (3)
$x_{cmax} \cos ( \omega t_{1} + \phi ) = - \frac{v}{ \omega}$. (4)
Возведя (3) и (4) в квадрат и сложив получившиеся выражения, найдем:
$x_{cmax}^{2} = \frac{( \Delta \mu )^{2} g^{2} }{ \omega^{4} } + \frac{}{} \approx 2 м^{2}, x_{cmax} \approx 1,4 м$.
Поделив (3) на (4), получим:
$tg ( \omega t_{1} + \phi) = \Delta \mu \frac{g}{v \omega}$
$( \sin( \omega t _{1} + \phi ) < 0, \cos ( \omega t_{1} + \phi ) < 0$
откуда
$\phi = \pi + arctg \frac{ \Delta \mu \cdot g}{v \omega} - \omega t_{1} \approx \frac{5 \pi}{4}$.
Перейдем теперь в неподвижную систему отсчета (в момент времени $t_{1}$ начала координат в обеих системах совпадают):
$x = x_{c} + v(t - t_{1}) = x_{cmax} \sin ( \omega t + \phi ) + v(t - t_{1}) + \Delta \mu \frac{g}{ \omega^{2} } = \sqrt{2} \sin \left ( (t - 10)+ \frac{5 \pi}{4} \right ) + (t - 10) + 1 (м)$
$x^{ \prime} = x_{cmax} \omega \cos ( \omega t + \phi ) + v = \sqrt{2} \cos \left ( (t - 10) + \frac{5 \pi}{4} \right ) + 1 (м/с)$.
Эти уравнения описывают движение бруска от момента времени $t_{1}$ до момента $t_{2}$, когда скорость бруска станет равной 0 и силу трения скольжения заменит сила трения покоя. В момент $t_{2}$
$x^{ \prime} = x_{cmax} \omega \cos ( \omega t_{2} + \phi) + v = 0$.
Вспомним, что угол $\theta = \omega t_{1} + \phi$ находится в третьей четверти. При дальнейшем росте $t$ ($t > t_{1}$) угол этот будет расти, $\cos ( \omega t + \phi)$ также будет расти, следовательно, и скорость будет расти, оставаясь положительной. Когда $( \omega t + \phi )$ окажется во второй (шестой) четверти, $\cos ( \omega t_{1} + \phi )$ будет отрицательным, и когда он станет равным $\cos ( \omega t_{1} + \phi )$, скорость бруска станет равной нулю. Таким образом,
$t_{2} = t_{1} + \frac{2 \left ( \pi - arctg \frac{ \Delta \mu \cdot g}{v \omega} \right ) }{ \omega} \approx 15 с$,
$x(t_{2} ) \approx 7 м$.
Заметим, что силы натяжения пружины в моменты $t_{2}$ и $t_{1}$ связаны соотношением
$f(t_{1}) - \mu mg = - (f(t_{2}) - \mu mg ) \Rightarrow f(t_{2}) = 2 \mu mg - f(t_{1})$.
Ho $f(t_{1}) = \mu_{0}mg$; поэтому
$f(t_{2}) = mg(2 \mu - \mu_{0}) < \mu_{0}mg$.
Значит, в момент $t_{2}$ брусок остановится и не будет двигаться до момента $t_{3}$, когда $f(t_{3})$ станет равной по модулю $\mu_{0} mg$. Интервал времени $t_{3} - t_{2}$, очевидно, равен
$t_{3} - t_{2} = \frac{f(t_{3} ) - f(t_{2} ) }{kv} = \frac{2( \mu_{0} - \mu )g}{v \omega^{2} } \approx 2 с$.
Затем цикл повторяется, так что $t_{4} - t_{3} = t_{2} - t_{1}$, и т. д. Графики функций $x(t)$ и $x^{ \prime}(t)$ приведены на рисунках.
