Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1243
2016-10-20 
В плоском конденсаторе ёмкостью $C$ расстояние между пластинами много меньше размеров пластин. Конденсатор не заряжен. Одну из пластин подсоединили через резистор $R_{!}$ и разомкнутый вначале ключ к проводящему шару радиусом $r$. Заряд шара равен $Q$. Шар находится на большом расстоянии от конденсатора, а конденсатор — на большом расстоянии от земли. Другую пластину конденсатора заземлили через резистор $R_{2}$. Какие количества теплоты выделятся на $R_{1}$ и $R_{2}$ при замыкании ключа?
Решение:
Описанная в условии задачи схема эквивалентна изображённой на рисунке, где $C_{0} = 4 \pi \epsilon_{0} r$ — ёмкость конденсатора, образованного проводящим шаром и землёй. До замыкания ключа в системе была запасена энергия $W_{1} = Q^{2}/(2C_{0})$. После замыкания ключа заряд $Q$ распределится между конденсаторами пропорционально их ёмкостям: заряд конденсатора $C$ будет равен $q = CQ/(C + C_{0})$, а заряд конденсатора $C_{0}$ будет равен $q_{0} = C_{0}Q/(C + C_{0})$. Поэтому после замыкания ключа в конденсаторах будет запасена энергия
$W_{2} = \frac{q^{2}}{2C} + \frac{q_{0}^{2}}{2C_{0}} = \frac{Q^{2}}{2(C+C_{0})}$.
Значит, после замыкания ключа в системе выделится количество теплоты
$Q = W_{2} - W_{1} = \frac{CQ^{2}}{2C_{0}(C+C_{0})}$.
Поскольку резисторы $R_{1}$ и $R_{2}$ соединены последовательно, то теплота $Q$ распределится между ними пропорционально величинам их сопротивлений:
$Q_{R_{1}} = \frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}} Q = \frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}} \cdot \frac{CQ^{2}}{2C_{0}(C+C_{0})} = \frac{R_{1}CQ^{2}}{8 \pi \epsilon_{0} r (R_{1}+R_{2})(C + 4 \pi \epsilon_{0}r)}$,
$Q_{R_{2}} = \frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}} Q = \frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \cdot \frac{CQ^{2}}{2C_{0}(C+C_{0})} = \frac{R_{2}CQ^{2}}{8 \pi \epsilon_{0} r (R_{1}+R_{2})(C + 4 \pi \epsilon_{0}r)}$.
В плоском конденсаторе ёмкостью $C$ расстояние между пластинами много меньше размеров пластин. Конденсатор не заряжен. Одну из пластин подсоединили через резистор $R_{!}$ и разомкнутый вначале ключ к проводящему шару радиусом $r$. Заряд шара равен $Q$. Шар находится на большом расстоянии от конденсатора, а конденсатор — на большом расстоянии от земли. Другую пластину конденсатора заземлили через резистор $R_{2}$. Какие количества теплоты выделятся на $R_{1}$ и $R_{2}$ при замыкании ключа?
Решение:
Описанная в условии задачи схема эквивалентна изображённой на рисунке, где $C_{0} = 4 \pi \epsilon_{0} r$ — ёмкость конденсатора, образованного проводящим шаром и землёй. До замыкания ключа в системе была запасена энергия $W_{1} = Q^{2}/(2C_{0})$. После замыкания ключа заряд $Q$ распределится между конденсаторами пропорционально их ёмкостям: заряд конденсатора $C$ будет равен $q = CQ/(C + C_{0})$, а заряд конденсатора $C_{0}$ будет равен $q_{0} = C_{0}Q/(C + C_{0})$. Поэтому после замыкания ключа в конденсаторах будет запасена энергия
$W_{2} = \frac{q^{2}}{2C} + \frac{q_{0}^{2}}{2C_{0}} = \frac{Q^{2}}{2(C+C_{0})}$.
Значит, после замыкания ключа в системе выделится количество теплоты
$Q = W_{2} - W_{1} = \frac{CQ^{2}}{2C_{0}(C+C_{0})}$.
Поскольку резисторы $R_{1}$ и $R_{2}$ соединены последовательно, то теплота $Q$ распределится между ними пропорционально величинам их сопротивлений:
$Q_{R_{1}} = \frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}} Q = \frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}} \cdot \frac{CQ^{2}}{2C_{0}(C+C_{0})} = \frac{R_{1}CQ^{2}}{8 \pi \epsilon_{0} r (R_{1}+R_{2})(C + 4 \pi \epsilon_{0}r)}$,
$Q_{R_{2}} = \frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}} Q = \frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \cdot \frac{CQ^{2}}{2C_{0}(C+C_{0})} = \frac{R_{2}CQ^{2}}{8 \pi \epsilon_{0} r (R_{1}+R_{2})(C + 4 \pi \epsilon_{0}r)}$.
