Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12429
2020-01-08 
Между пластинами плоского конденсатора площадью $S$, расстояние между которыми $d$, движется со скоростью $\vec{v}$ плоскопараллельная протяженная проводящая пластина толщиной $d/2$. Вдоль пластины перпендикулярно $\vec{v}$ действует постоянное магнитное поле с индукцией $\vec{B}$.
Определите напряжение на конденсаторе емкостью $C$, соединенном с пластинами так, как показано на рисунке.
Решение:
В объеме проводящей пластины имеется огромное количество свободных электронов. При движении пластины внутри конденсатора на свободные электроны действуют три силы: сила Лоренца со стороны магнитного поля $evB$, направленная вниз; сила $eE$ со стороны зарядов, находящихся на поверхностях движущейся пластины, направленная вверх; сила со стороны зарядов на пластинах конденсатора $eE_{0}$, направленная вниз. Сумма всех этих трех сил внутри проводника должна быть равна нулю, то есть
$vB - E + E_{0} = 0$. (1)
При этом заряд на конденсаторе емкостью $C$ должен быть равен заряду на пластинах площадью $S$:
$Q = CU = \frac{ \epsilon_{0}S}{d} E_{0}d = \epsilon_{0}E_{0}S$. (2)
Работа по перенесению единичного положительного заряда по замкнутому контуру в электрическом поле зарядов всегда равна нулю; значит,
$E_{0}d - \frac{Ed}{2} + U = 0$. (3)
Чтобы найти значение $U = \frac{ \epsilon_{0} E_{0}S }{C}$, найдем значение $E_{0}$ из системы уравнений (1)-(3). Будем считать для общности, что толщина пластины не $d/2$, a $d^{ \prime}$; тогда
$E_{0}d - Ed^{ \prime} + \frac{ \epsilon_{0}E_{0}S }{C} = 0$, (4)
и из (1) и (4) находим $E_{0} = \frac{vBd^{ \prime} }{ \frac{ \epsilon_{0}S }{C} + d - d^{ \prime} }$.
При $d^{ \prime} = 0$ $E_{0} = 0$, а значит, и $U = 0$.
При $d^{ \prime} = \frac{d}{2}$ $E_{0} = \frac{vB}{1 + \frac{2 \epsilon_{0}S }{Cd} }$ и $U = \frac{ \epsilon_{0}vBS }{C + \frac{2 \epsilon_{0}S }{d} }$.
При $d^{ \prime} = d$ поля $E_{0}$ не будет, $E = vB$, а напряжение на конденсаторе $C$ всегда будет $U = vBd$ независимо от его емкости.
Между пластинами плоского конденсатора площадью $S$, расстояние между которыми $d$, движется со скоростью $\vec{v}$ плоскопараллельная протяженная проводящая пластина толщиной $d/2$. Вдоль пластины перпендикулярно $\vec{v}$ действует постоянное магнитное поле с индукцией $\vec{B}$.
Определите напряжение на конденсаторе емкостью $C$, соединенном с пластинами так, как показано на рисунке.
Решение:
В объеме проводящей пластины имеется огромное количество свободных электронов. При движении пластины внутри конденсатора на свободные электроны действуют три силы: сила Лоренца со стороны магнитного поля $evB$, направленная вниз; сила $eE$ со стороны зарядов, находящихся на поверхностях движущейся пластины, направленная вверх; сила со стороны зарядов на пластинах конденсатора $eE_{0}$, направленная вниз. Сумма всех этих трех сил внутри проводника должна быть равна нулю, то есть
$vB - E + E_{0} = 0$. (1)
При этом заряд на конденсаторе емкостью $C$ должен быть равен заряду на пластинах площадью $S$:
$Q = CU = \frac{ \epsilon_{0}S}{d} E_{0}d = \epsilon_{0}E_{0}S$. (2)
Работа по перенесению единичного положительного заряда по замкнутому контуру в электрическом поле зарядов всегда равна нулю; значит,
$E_{0}d - \frac{Ed}{2} + U = 0$. (3)
Чтобы найти значение $U = \frac{ \epsilon_{0} E_{0}S }{C}$, найдем значение $E_{0}$ из системы уравнений (1)-(3). Будем считать для общности, что толщина пластины не $d/2$, a $d^{ \prime}$; тогда
$E_{0}d - Ed^{ \prime} + \frac{ \epsilon_{0}E_{0}S }{C} = 0$, (4)
и из (1) и (4) находим $E_{0} = \frac{vBd^{ \prime} }{ \frac{ \epsilon_{0}S }{C} + d - d^{ \prime} }$.
При $d^{ \prime} = 0$ $E_{0} = 0$, а значит, и $U = 0$.
При $d^{ \prime} = \frac{d}{2}$ $E_{0} = \frac{vB}{1 + \frac{2 \epsilon_{0}S }{Cd} }$ и $U = \frac{ \epsilon_{0}vBS }{C + \frac{2 \epsilon_{0}S }{d} }$.
При $d^{ \prime} = d$ поля $E_{0}$ не будет, $E = vB$, а напряжение на конденсаторе $C$ всегда будет $U = vBd$ независимо от его емкости.
