Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12428
2020-01-08 
Определите период малых колебаний системы, изображенной на рисунке: масса груза $m$, упругость пружины $k$, $\angle AOB = \alpha$. Стержень и блок считать гладкими, пружину - невесомой. Пружина закреплена в точке $A$. Изменится ли период колебаний, если в точке $O$ также закрепить груз $m$?
Решение:
Предположим, что груз сместился вниз на малое расстояние $x$. Посмотрим, как изменится при этом сила натяжения нити.
Поскольку пружина невесомая, в любой момент времени (см. рисунок)
$F_{y} = T \cos \alpha$, то есть $k( \Delta l + \Delta l^{ \prime}) = T \cos \alpha^{ \prime}$,
где $\Delta l^{ \prime} = | OO^{ \prime} |, \alpha^{ \prime} = \angle AO^{ \prime}B$. Как видно из рисунка, $| OO^{ \prime} | = \frac{x}{ \cos \alpha}$ и $\alpha^{ \prime} = \alpha + \Delta \alpha$, где $\Delta \alpha = \frac{x tg \alpha}{l - x}$. Так как $\cos ( \alpha + \Delta \alpha ) = \cos \alpha \cos \Delta \alpha - \sin \alpha \sin \Delta \alpha \underset{ \Delta \alpha \rightarrow 0}{ \approx} \cos \alpha - \Delta \alpha$ $\sin \alpha = \cos \alpha - \frac{x}{l - x} \sin \alpha tg \alpha$, при малом смещении груза вниз
$T = \frac{k \left ( \Delta l + \frac{x}{ \cos \alpha} \right ) }{ \cos \alpha - \frac{x}{l - x} \sin \alpha tg \alpha } = \frac{k( \Delta l \cos \alpha + x)}{ \cos^{2} \alpha - \frac{x}{l - x} \sin^{2} \alpha } \approx \frac{k( \Delta l \cos \alpha + x) }{ \cos^{2} \alpha }$
(мы пренебрегли вторым слагаемым в знаменателе, так как $\frac{x}{l - x} \rightarrow 0$ при $x \rightarrow 0$).
Теперь запишем уравнение движения груза:
$ma = mg - T = mg - \frac{k \Delta l}{ \cos \alpha} - \frac{kx}{ \cos^{2} \alpha } = - \frac{kx}{ \cos^{2} \alpha }$.
Это уравнение описывает гармонические колебания с периодом
$t = \frac{2 \pi}{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m \cos^{2} \alpha }{k} } = 2 \pi \cos \alpha \sqrt{ \frac{m}{k}}$.
В частности, при $\alpha = 0$ получаем знакомую формулу для периода колебаний груза на пружине.
Из решения понятно, что если в точке $O$ закрепить груз, то период колебаний увеличится, так как в этом случае при том же значении $\alpha$ величина $T$ будет меньше; ускорение груза, закрепленного в точке $A$, увеличится - период колебаний уменьшится.
Определите период малых колебаний системы, изображенной на рисунке: масса груза $m$, упругость пружины $k$, $\angle AOB = \alpha$. Стержень и блок считать гладкими, пружину - невесомой. Пружина закреплена в точке $A$. Изменится ли период колебаний, если в точке $O$ также закрепить груз $m$?
Решение:
Предположим, что груз сместился вниз на малое расстояние $x$. Посмотрим, как изменится при этом сила натяжения нити.
Поскольку пружина невесомая, в любой момент времени (см. рисунок)
$F_{y} = T \cos \alpha$, то есть $k( \Delta l + \Delta l^{ \prime}) = T \cos \alpha^{ \prime}$,
где $\Delta l^{ \prime} = | OO^{ \prime} |, \alpha^{ \prime} = \angle AO^{ \prime}B$. Как видно из рисунка, $| OO^{ \prime} | = \frac{x}{ \cos \alpha}$ и $\alpha^{ \prime} = \alpha + \Delta \alpha$, где $\Delta \alpha = \frac{x tg \alpha}{l - x}$. Так как $\cos ( \alpha + \Delta \alpha ) = \cos \alpha \cos \Delta \alpha - \sin \alpha \sin \Delta \alpha \underset{ \Delta \alpha \rightarrow 0}{ \approx} \cos \alpha - \Delta \alpha$ $\sin \alpha = \cos \alpha - \frac{x}{l - x} \sin \alpha tg \alpha$, при малом смещении груза вниз
$T = \frac{k \left ( \Delta l + \frac{x}{ \cos \alpha} \right ) }{ \cos \alpha - \frac{x}{l - x} \sin \alpha tg \alpha } = \frac{k( \Delta l \cos \alpha + x)}{ \cos^{2} \alpha - \frac{x}{l - x} \sin^{2} \alpha } \approx \frac{k( \Delta l \cos \alpha + x) }{ \cos^{2} \alpha }$
(мы пренебрегли вторым слагаемым в знаменателе, так как $\frac{x}{l - x} \rightarrow 0$ при $x \rightarrow 0$).
Теперь запишем уравнение движения груза:
$ma = mg - T = mg - \frac{k \Delta l}{ \cos \alpha} - \frac{kx}{ \cos^{2} \alpha } = - \frac{kx}{ \cos^{2} \alpha }$.
Это уравнение описывает гармонические колебания с периодом
$t = \frac{2 \pi}{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m \cos^{2} \alpha }{k} } = 2 \pi \cos \alpha \sqrt{ \frac{m}{k}}$.
В частности, при $\alpha = 0$ получаем знакомую формулу для периода колебаний груза на пружине.
Из решения понятно, что если в точке $O$ закрепить груз, то период колебаний увеличится, так как в этом случае при том же значении $\alpha$ величина $T$ будет меньше; ускорение груза, закрепленного в точке $A$, увеличится - период колебаний уменьшится.
