Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12426
2020-01-08 
В высокоскоростном киносъемочном аппарате, применяемом для съемки быстро-протекающих процессов, пленка движется непрерывно со скоростью $v$. Для предотвращения смазывания изображения между пленкой и объективом установлена четырехгранная стеклянная призма с показателем преломления $n$, вращающаяся с постоянной угловой скоростью (рис.1). Пренебрегая расфокусировкой изображения, определите, при какой угловой скорости изображение на пленке не смазывается. Определите толщину призмы при условии, что экспонирование изображения одного кадра проводится в пределах $(- \alpha_{0}, \alpha_{0})$ ее угла поворота, а минимальный размер различимых деталей изображения равен $\delta$.
Решение:
Рассмотрим точку $A$ на оптической оси. Ее изображение $A^{ \prime}$ также расположено на оптической оси при положении призмы, изображенном на рисунке. При повороте призмы на угол $\alpha$ изображение $A^{ \prime}$ смещается по горизонтали на $\xi( \alpha)$ от плоскости, в которой со скоростью $v$ движется кинопленка, и на величину $\Delta ( \alpha)$ в направлении движения пленки (рис.). Смещение по горизонтали приводит к расфокусировке изображения. По условию этим эффектом можно пренебречь.
Рассмотрим, к чему приводит смещение $\Delta ( \alpha)$. Относительно пленки изображение $A^{ \prime}$ движется со скоростью $u = \frac{ \Delta ( \alpha)}{t} - v$. Скорость $\omega$ вращения призмы подбирают такой, что при малых углах $\alpha$ скорость $u$ близка к нулю, и изображение $A^{ \prime}$ неподвижно относительно пленки. Это объясняет назначение вращающейся призмы - она компенсирует смещение пленки. Зависимость $\Delta ( \alpha)$ от $\alpha$ имеет вид ($h$ - толщина призмы)
$\Delta ( \alpha ) = h \sin \omega t \left ( 1 - \frac{ \cos \alpha}{ \sqrt{n^{2} - \sin^{2} \alpha } } \right )$
(выведите эту формулу самостоятельно, пользуясь законом преломления).
Мгновенная скорость изображения $A^{ \prime}$ в тот момент, когда оно находится на оптической оси, равна
$\left . \frac{d \Delta ( \alpha)}{dt} \right |_{t = 0} = \left . \frac{d \Delta ( \alpha) }{d \alpha} \frac{d \alpha}{dt} \right |_{ \alpha = 0} = h \frac{n - 1}{n} \omega$
и по условию
$h \frac{n - 1}{n} \omega = v$. (*)
С ростом $\alpha$ мгновенная скорость уменьшается, и точка $A^{ \prime}$ за время поворота призмы на угол $\alpha$ ($t = \alpha / \omega$) экспонирует на пленке отрезок длиной $\Delta = \left ( v - \frac{ \Delta ( \alpha) }{ \alpha} \omega \right ) \frac{ \alpha}{ \omega}$. Изображение на пленке не смазано, если за время экспозиции кадра длина этого отрезка не больше $\delta$, то есть при $\alpha = \alpha_{0}$ $\Delta = \delta$, или
$- \alpha_{0} h \sin \alpha_{0} \left ( 1 - \frac{ \cos \alpha_{0} }{ \sqrt{n^{2} - \sin^{2} \alpha } } \right ) + h \frac{n - 1}{n} \alpha_{0} = \delta$.
Отсюда находим $h$:
$h = \frac{ \delta }{ \alpha_{0} } \left ( \frac{n - 1}{n} - \sin \alpha_{0} \left ( 1 - \frac{ \cos \alpha_{0} }{ \sqrt{n^{2} - \sin^{2} \alpha } } \right ) \right )^{-1}$.
С учетом этого из (*) находим, при какой угловой скорости призмы изображение на пленке не смазано:
$\omega = \frac{vn}{n - 1} \frac{ \alpha_{0} }{ \delta } \left ( \frac{n - 1}{n} - \sin \alpha_{0} \left ( 1 - \frac{ \cos \alpha_{0} }{ \sqrt{n^{2} - \sin^{2} \alpha_{0} } } \right ) \right )$.
В высокоскоростном киносъемочном аппарате, применяемом для съемки быстро-протекающих процессов, пленка движется непрерывно со скоростью $v$. Для предотвращения смазывания изображения между пленкой и объективом установлена четырехгранная стеклянная призма с показателем преломления $n$, вращающаяся с постоянной угловой скоростью (рис.1). Пренебрегая расфокусировкой изображения, определите, при какой угловой скорости изображение на пленке не смазывается. Определите толщину призмы при условии, что экспонирование изображения одного кадра проводится в пределах $(- \alpha_{0}, \alpha_{0})$ ее угла поворота, а минимальный размер различимых деталей изображения равен $\delta$.
Решение:
Рассмотрим точку $A$ на оптической оси. Ее изображение $A^{ \prime}$ также расположено на оптической оси при положении призмы, изображенном на рисунке. При повороте призмы на угол $\alpha$ изображение $A^{ \prime}$ смещается по горизонтали на $\xi( \alpha)$ от плоскости, в которой со скоростью $v$ движется кинопленка, и на величину $\Delta ( \alpha)$ в направлении движения пленки (рис.). Смещение по горизонтали приводит к расфокусировке изображения. По условию этим эффектом можно пренебречь.
Рассмотрим, к чему приводит смещение $\Delta ( \alpha)$. Относительно пленки изображение $A^{ \prime}$ движется со скоростью $u = \frac{ \Delta ( \alpha)}{t} - v$. Скорость $\omega$ вращения призмы подбирают такой, что при малых углах $\alpha$ скорость $u$ близка к нулю, и изображение $A^{ \prime}$ неподвижно относительно пленки. Это объясняет назначение вращающейся призмы - она компенсирует смещение пленки. Зависимость $\Delta ( \alpha)$ от $\alpha$ имеет вид ($h$ - толщина призмы)
$\Delta ( \alpha ) = h \sin \omega t \left ( 1 - \frac{ \cos \alpha}{ \sqrt{n^{2} - \sin^{2} \alpha } } \right )$
(выведите эту формулу самостоятельно, пользуясь законом преломления).
Мгновенная скорость изображения $A^{ \prime}$ в тот момент, когда оно находится на оптической оси, равна
$\left . \frac{d \Delta ( \alpha)}{dt} \right |_{t = 0} = \left . \frac{d \Delta ( \alpha) }{d \alpha} \frac{d \alpha}{dt} \right |_{ \alpha = 0} = h \frac{n - 1}{n} \omega$
и по условию
$h \frac{n - 1}{n} \omega = v$. (*)
С ростом $\alpha$ мгновенная скорость уменьшается, и точка $A^{ \prime}$ за время поворота призмы на угол $\alpha$ ($t = \alpha / \omega$) экспонирует на пленке отрезок длиной $\Delta = \left ( v - \frac{ \Delta ( \alpha) }{ \alpha} \omega \right ) \frac{ \alpha}{ \omega}$. Изображение на пленке не смазано, если за время экспозиции кадра длина этого отрезка не больше $\delta$, то есть при $\alpha = \alpha_{0}$ $\Delta = \delta$, или
$- \alpha_{0} h \sin \alpha_{0} \left ( 1 - \frac{ \cos \alpha_{0} }{ \sqrt{n^{2} - \sin^{2} \alpha } } \right ) + h \frac{n - 1}{n} \alpha_{0} = \delta$.
Отсюда находим $h$:
$h = \frac{ \delta }{ \alpha_{0} } \left ( \frac{n - 1}{n} - \sin \alpha_{0} \left ( 1 - \frac{ \cos \alpha_{0} }{ \sqrt{n^{2} - \sin^{2} \alpha } } \right ) \right )^{-1}$.
С учетом этого из (*) находим, при какой угловой скорости призмы изображение на пленке не смазано:
$\omega = \frac{vn}{n - 1} \frac{ \alpha_{0} }{ \delta } \left ( \frac{n - 1}{n} - \sin \alpha_{0} \left ( 1 - \frac{ \cos \alpha_{0} }{ \sqrt{n^{2} - \sin^{2} \alpha_{0} } } \right ) \right )$.
